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第二章

基本初等函数（1）小结

高红桃

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

（2）．两个重要公式

n为奇数

a

nn①aa(a0)

；

|a|a(a0)n为偶数

②(na)na（注意a必须使na有意义）。

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:amnnam(a0,m、nN,且n1);

mn②正数的负分数指数幂: a1amn1nam(a0,m、nN,且n1)

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 注：指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．

1

3．指数函数的图象与性质

y=ax 图象

a>1 0

定义域

值域

性质

R （0，+）

（1）过定点（0，1）

（2）当x>0时，y>1; x<0时,0

(2) 当x>0时，01 (3)在（-，+）上是增函数

（3）在（-，+）上是减函数

注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数

1、对数的概念

（1）对数的定义

如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

（2）几种常见对数

对数形式

一般对数

常用对数

自然对数

特点

底数为aa0,且a1

底数为10 底数为e 记法

logaN

lgN

lnN

2

2、对数的性质与运算法则

（1）对数的性质（a0,且a1）：①loga10，②ogl（2）对数的重要公式：

①换底公式：logbNgol③aa1，aaN④oN，glaNa

N。logaN(a,b均为大于零且不等于1,N0)；

logab②logab1。

logba（3）对数的运算法则：

如果a0,且a1，M0,N0那么

①loga(MN)logaMlogaN；

②logaMlogaMlogaN；

N③logaMnnlogaM(nR)；

④logambnnlogab。

m3、对数函数的图象与性质

a1

图象

性（1）定义域：（0,+）

质

（2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）

（4）当0x1时，y(,0)；

当x1时，y(0,)

（5）在（0,+）上为增函数

0a1

（4）当x1时，y(,0)；

当0x1时，y(0,)

（5）在（0,+）上为减函数

注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

3

∴0

指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数

1、幂函数的定义

α形如y=x（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x，y=x，y=x，yx，y=x-1方法：可画出x=x0；

当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x，y=x，

y=x，yx，

y=x-1；

当0

，y=x，

y=x2，y=x3

。

3、幂函数的性质

y=x

定义域

值域

奇偶性

单调性

R R 奇

增

R [0，）

偶

R R 奇

[0，）

[0，）

非奇非偶

增

y=x2

y=x3

12-13232121212yx

y=x-1

x|xR且x0

y|yR且y0

奇

x∈(0,+)时，减；

x∈(-,0)时，减

x∈[0，）时，增；

增

x∈(,0]时，减

定点

（1，1）

4

知识结构图如下：

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