习题1.2优秀教学设计

函数的单调性、奇偶性与周期性

一．函数的单调性

1. 函数的单调性定义：

设函数yf(x)的定义域为A，区间IA

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数，I称为yf(x)的单调增区间

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的单调减区间

如果用导数的语言来，那就是：

设函数yf(x)，如果在某区间I上f(x)0，那么f(x)为区间I上的增函数；

如果在某区间I上f(x)0，那么f(x)为区间I上的减函数；

2. 函数单调性要注意的问题

（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；

（2）函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是大小，即

x1x2(x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间I上f(x)0（f(x)0）仅是f(x)为区间I上的增函数（减函数）的充分不必要条件。

（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明yf(x)在某区间I上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，不能用区间I上的两个特殊值来代替。而要证明yf(x)在某区间I上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I上两个特殊的x1，x2，若x1x2，有f(x1)f(x2)即可。如果用导数证明yf(x)在某区间I上递增或递减，那么就证明在某区间I上f(x)0或f(x)0。

（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y1分别在(,0)x1

和(0,)内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(,0)(0,)内是单调递减的，只能说函数y1的单调递减区间为(,0)和(0,)

x（6）一些单调性的判断规则：若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数（减函数），那么。

f(x)g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）3.求函数单调区间的方法

熟记基本初等函数图像，熟悉函数图像变换，从图像中看出单调区间。

4.典型例题精讲

例1⑴证明函数fxxaax0在区间a,上是增函数；⑵若函数fx在a2,上递增，求a的取值范围。

例2．求下列函数的单调区间

exlgx(x>0)(x0)1x⑴fx；⑵f(x)2；⑶f(x)；⑷1x-x2x(x0)lg(x)(x0)yax

ba,bx0，⑸yx24x5；⑹ylog0.5x26x7。

(3a1)x4a,x1例3. ⑴已知f(x)

是(,)上的减函数，求a的取值范围。

logx,x1a2⑵定义在[1,4]上的函数f(x)为减函数，求满足不等式f(12a)f(4a)0的a的值的集合。

f(12a)f(4a2)0 ∴f(12a)f(4a2)， 又f(x)定义在[1,4]上的减函数，

3a0112a42 ∴14a4 即3a31a0

12a4a21a3所以，满足题意的a取值的集合为{a|1a0}．

⑶已知函数fxax11在2,上是增函数，求a的取值范围。（答案a＞）。

x22fa，求a取值范围。（答案：因fx2x4x,x0,2f2a⑷已知函数fx，24xx,x0.在R上是增函数，于是得到2a1）。

2

⑸不等式mxm1对任意的x1,1总成立，求实数m的取值范围。（答案ma1）。

22）。

⑹已知函数fxloga2ax在0,1是减函数，求a的取值范围。（答案1变式训练：定义在（－1，1）上的函数f(x)是减函数，且满足：f(1a)f(a)，求实数a的取值范围。

fafb例3 函数fx是定义在1,1的函数，对任意a,b1,1,ab0,ab且f11。

⑴判断fx在1,1上的单调性；（答案在1,1上是增函数）。

⑵解不等式fx20，1231x；，

（答案f1,1x2x11）。

⑶若fxm2m1对所有x1,1都成立，求m的取值范围。答案m0或m2

5.复合函数的单调性

⑴定义：

设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为

y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)

⑵复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下（“异减同增”规则）：

函数 单调性

内层ug(x) 增 增 减 减

外层yf(u) 增 减 增 减

复合yfg(x) 增 减 减 增

6.典型例题精讲2 21．函数fxlog24xx的单调递减区间是（

C

）

A．(0,4);

B．(0,2);

C．(2,4);

D．

(2,)

3

变式训练1：函数ylog1(x25x6)的单调增区间为（ D ）

2A．，2)

)； C．，； D．(，; B．(3，52522．函数yx22x3的增区间是（

A ）。

A．[-3，-1] B．[-1,1] C．1a1(,3)

D．(1,) 3276xx变式训练2：函数y2xx的单调减区间为______；（答案1,2）y=的2单调增区间 。（答案7,3）。

3. 已知f(x)82xx，如果g(x)f(2x)，那么g(x)（

）

A. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数

C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上是增函数

22变式训练3 ⑴函数ylncos1x的单调减区间为

答案431x33。⑵函数的单调减区间为

（答案1,1）；y6k,6k,kZ441x11⑶函数y42

xx2的单调减区间为

（答案,1）。

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