习题2.2优质课教案推荐

基础巩固题组

(建议用时：40分钟) 一、选择题

1.(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(

) A.奇函数，且在(0，1)上是增函数

B.奇函数，且在(0，1)上是减函数

C.偶函数，且在(0，1)上是增函数

D.偶函数，且在(0，1)上是减函数

解析

法一

函数f(x)的定义域为(－1，1)，任取x∈(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数.又∵当x∈(0，1)时，f′(x)＝＝2＞0，∴f(x)在(0，1)上是增函数.综上，选A.

1－x211＋1＋x1－x法二

同法一知f(x)是奇函数.

当x∈(0，1)时，f(x)＝ln∵y＝1＋x2－（1－x）2＝ln＝ln1－x－1.

1－x1－x2(x∈(0，1))是增函数，y＝ln x也是增函数，

1－x∴f(x)在(0，1)上是增函数.综上，选A.

答案

A 2.若函数y＝logax( a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(

)

解析

由题意y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，

1xy＝3＝3，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选－x项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符.故选B. 答案

B 3.已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(

) A.d＝ac

B.a＝cd

C.c＝ad

D.d＝a＋c

解析

由已知得b＝5a，b＝10c，5d＝10，

∴5a＝10c，5d＝10，同时取以10为底的对数可得，

c1alg 5＝c，dlg 5＝1，∴a＝d，即a＝cd.

答案

B 4.(2015·四川卷)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的(

) A.充要条件

C.必要不充分条件

B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析

“3a＞3b＞3”等价于“a＞b＞1”，

“loga3＜logb3”等价于“a＞b＞1或0＜a＜1＜b或0＜b＜a＜1”，从而“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分不必要条件.

答案

B 25.(2016·日照模拟)设f(x)＝lg1－x＋a是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是(

) A.(－1，0)

C.(－∞，0)

B.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析

由f(x)是奇函数可得a＝－1，

∴f(x)＝lg1＋x的定义域为(－1，1).

1－x1＋x<1，∴－1

A

二、填空题

6.(2016·徐州模拟)若解析

f(lg a)＝a1x－f(x)＝a2，且1f(lg a)＝10，则a＝________.

lg a－alg a＝10，

2＝a11∴alg a＝(10a)2，两边取常用对数，得(lg a)2＝2(1＋lg a)，

1∴2(lg a)2－lg a－1＝0，解得lg a＝1或lg a＝－2.

10∴a＝10或a＝.

1010答案

10或10

7.函数y＝log1(x2－2x)的定义域是________；单调递减区间是________. 2解析

由x2－2x＞0，得x＜0或x＞2，∴函数的定义域为：(－∞，0)∪(2，＋∞). ∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1，

∴函数y＝log1(x2－2x)的单调递减区间为(2，＋∞). 2答案

(－∞，0)∪(2，＋∞)

(2，＋∞) －x＋6，x≤2，8.(2015·福建卷)若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，3＋logax，x＞2则实数a的取值范围是______________. 解析

当x≤2时，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴f(x) ∈[4，＋∞)，当x＞2时，若a∈(0，1)，则f(x)＝3＋logax在(2，＋∞)上为减函数，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，显然不满足题意，∴a＞1，此时f(x)在(2，＋∞)上为增函数，f(x)∈(3＋loga2，＋∞).由题意可知(3＋loga2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋loga2≥4，即loga2≥1，∴1＜a≤2.

答案

(1，2] 三、解答题

9.已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集. x＋1>0，解

(1)要使函数f(x)有意义.则解得－10，域为{x|－1

且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，

故f(x)为奇函数. x＋1(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－10⇔>1，1－x解得00的x的解集是{x|0

当a＞1时，f(x)＝logax在3，2上单调递增，

1要使x∈3，2都有|f(x)|≤1成立，

1loga≥－1，13则有解得a≥3.当0＜a＜1时，f(x)＝logax在3，2上单调递减，loga2≤1，1loga≤1，113要使x∈3，2都有|f(x)|≤1成立，则有解得0＜a≤3.综上可知，loga2≥－1，1实数a的取值范围是0，3∪[3，＋∞). 能力提升题组

(建议用时：20分钟) 1b1c111.设a，b，c均为正数，且2＝loga，2＝logb，2＝log2c，则(

) 22a1A.a＜b＜c

B.c＜b＜a

C.c＜a＜b

D.b＜a＜c

1解析

∵a＞0，∴2a＞1，∴log1a＞1，∴0＜a＜2.

211b又∵b＞0，∴0＜2＜1，∴0＜log1b＜1，∴2＜b＜1.

21c又∵2＞0，∴log2c＞0，∴c＞1，

1∴0＜a＜2＜b＜1＜c，故选A. 答案

A 212.设函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 017)＝8，则f(x21)＋f(x2)＋…＋2f(x2 017)的值等于(

) A.4

B.8

C.16

D.2loga8 解析

由f(x1x2…x2 017)＝8，得loga(x1x2…x2 017)＝8，

22222所以f(x21)＋f(x2)＋…＋f(x2 017)＝logax1＋logax2＋…＋logax2 017

22＝loga(x1·x22·…x2 017)＝2loga(x1x2…x2 017)＝2×8＝16. 答案

C x13.(2015·湘潭模拟)已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则1－xab的取值范围是________. 解析

由题意可知lnab＋ln＝0，

1－a1－bbaba即ln1－a×1－b＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)1－a1－b121＝－a＋a＝－a－2＋4，

212111又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜2，故0＜－a－2＋4＜4. 1答案

0，4

14.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；

(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取

值范围. 解

(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，

因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，

故函数h(x)的值域为[0，2]. (2)由f(x2)·f(x)>k·g(x)，

得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，

令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，

所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，

①当t＝0时，k∈R；

（3－4t）（3－t）99②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋t－15，因为4t＋t≥t93912，当且仅当4t＝t，即t＝2时取等号，所以4t＋t－15的最小值为－3，

综上，k∈(－∞，－3).