习题2.3教学设计和教学实录

幂函数及其性质

信宜市第一中学

张

浩

一、教学内容分析

《幂函数》是《普通高中课程标准实验教科书。数学(必

修1)》(人教A)版第二章第二节第三课（2.3），根据我所任教学生的实际情况，我将《幂函数及其性质》划分为两课时，第一课时，侧重对幂函数的概念进行详细的研究，并对某些幂函数的奇偶性和单调性进行严格的证明。第二课时，进一步了解和熟悉幂函数的图像与性质，运用所学函数性质与图像的研究方法来研究幂函数的图像与性质。本节课是第二课时，对幂函数的图像及性质的了解和应用，有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。

二、教学目标：

1.知识与技能：

(1)进一步了解和熟悉幂函数的图像与性质；

(2)运用所学函数性质与图像的研究方法来研究幂函数的图像与性质；

(3)会从数学的角度发现和提出问题，主动进行探索、研究和解决问题。

2.过程与方法：

掌握“从特殊到一般”、“从一般到特殊”、“从感性到理性”的研究策略。

3.态度和价值观：

(1)通过分组合作进行作图，激发学生的研究兴趣，培养数学实践能力与自主探究精神；

(2)体会幂函数的图像与性质中隐含的整体性、次序性与和谐性；

(3)在发现性质与图像规律的过程中体验发现的喜悦；

三、重点、难点

重点：了解和熟悉幂函数的图像与性质。

难点：利用幂函数的性质求解问题。

四、教学过程

1.温故知新：

幂函数的定义是__________ 如何判断一个函数是不是幂函数？___________ 设计意图：通过回顾旧知识，使知识得到联系。

2.新课引入

师：通过上节课学习，我们知道什么是幂函数，这节课我们一起研究幂函数的图像有什么规律。首先请大家展示下幂函数yx，a{1,,1,2,3}12的图像。通过投影仪投放出来，并进行点评。（课前已布置学生通过列表描点法作出上述函数的图像）

师：在前面研究指、对数函数性质时从我们哪几个方面研究？

生：定义域、值域，单调性，奇偶性，过定点等。

设计意图：这一提问是为了引导学生运用所学函数性质与图像的研究方法来研究幂函数的图像与性质而设置。

3.新课讲授

1a{1,,1,2,3}2问题一：幂函数yx

在第一象限的图像与性质，究竟是怎样的？请填

1

好下面表格，你能从yx，这五个函数的图像发现什么规律吗？

在学生自主探究、合作交流的基础上填写如下表格：

幂函数

y＝x 定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

R

R

奇

增

y＝x

R

2a{1,,1,2,3}12y＝x

R

3y＝x

12y＝x1

－[0，＋∞)

(－∞，0)∪(0，＋∞) [0，＋∞)

(－∞，0)∪(0，＋∞) 非奇非偶

奇

(－∞，0)减

增

(0，＋∞)减

(1,1) [0，＋∞)

R

偶

奇

(－∞，0)减

增

(0，＋∞)增

(0,0)，(1,1) 通过上表格，我们得到规律：

（1）.都过定点（1,1）；

（2）.函数yx,yx,yx是奇函数，函数yx是偶函数

1yxyx,yx,yxyx（3）.在区间（0，＋∞)上，函数和是增函数，函数是2312312减函数；

1yx（4）.在第一象限，函数的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。

12设计意图：结合函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象,了解它们的变化情况，为下一问题作好铺垫。

ayx问题二：幂函数，Q在第一象限的图像是如何的规律？

23让学生充分讨论和发表答案后，引导填好以下表格。

当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征: α取值

α>1 0<α<1 α<0 图象

特殊点

过(0,0),(1,1) 凹凸性

下凸

单调性

递增

举例

y=x2

过(0,0),(1,1) 上凸

递增

y=

过(1,1) 下凸

递减

y=x-1,y=

设计意图：

（1）这一问题对答案没有明确的指向，开放性大，每个层次的同学都能回答，程度好的学生能在回答中体现出他的水平。若学生未能注意到分类回答，适当提醒“幂函数的各类图

2

像中，当1，或01，或0，或1,或0时，在

中可找到相应代表”；若学生能回答某些概括性的性质，教师要充分肯定他的学习精神与能力，赞赏他的数学悟性。

（2）抽象出幂函数图像的一般性质，让学生感受到从特殊到一般的数学思维方法，发展学生抽象、概括的思维能力。

（3）小组讨论这一环节是为了帮助学生在自主探索和合作交流的过程中构建知识、训练技能、领会数学思想方法、获得数学活动经验，并学会分享和欣赏。

ayx问题三：幂函数在第一象限内的图像在x1的部分与x轴的靠近程度与的大小{1,,1,2,3}12有什么关系？

生：幂函数在第一象限内的图像在x1的部分与x轴的靠近程度，随着的增大超来超远。

设计意图：明确幂指数是幂函数的要素，渗透数形结合的思想方法。

aqyx问题四：幂函数，设(p、qZ,p、q互质，且p0），它的各类图像中，p函数的奇偶性与有怎样的关系？

当幂指数的分母为偶数时,幂函数是非奇非偶函数，

当幂指数的分母为奇数且分子为奇数时，幂函数是奇函数，

当幂指数的分母为奇数且分子为偶数时，幂函数是奇函数。

设计意图：明确幂函数奇偶性的判定，理解幂函数图像性质，渗透分类讨论的思想方法

4.课堂反馈：

例1.

下面六个幂函数的图像如图所示，试建立函数与图像之间的对应关系。

(1)yx;

(2) yx;

(3) yx;

(4) yx3213232

(5)yx3

(6)yx12

变式：填空(口答)

幂函数yx12的定义域为______,值域为________,过定点_________,奇偶性为______,单调性为____________________; [题后感悟]

幂函数的定义域要根据解析式来确定，当幂函数的指数为分数形式时，需将其转化为熟悉的根式形式，利用根式的有关要求求出自变量的取值范围．

设计意图：通过这道题的训练，学生明白作幂函数图像的要注意到定义域、值域、定点、奇偶性、单调性这几方面。

例2.如图，图中曲线是幂函数yx在第一象限的大致图像。已知取2，11，，222

3

四个值，则相应于曲线C1,C2,C3C4的的值依次为(

) 1111，，2

B. 2，，，2 22221111C. ，2，2，

D.2，

，2，

2222A. 2，[题后感悟]

通过幂函数的图象比较指数的大小时，可作直线x＝m(m>1)，依据直线x＝m(m>1)与图象的交点的高低判断，其规律为：按交点自上而下，幂指数逐渐减小．

师：在同一坐标系中，两个指数函数图像的高低与底数大小有何关系?如何判断？

生：作直线x=1，看直线与两指数图像交点的高低，交点高的底数大，交点低的指数小。

师：对数函数呢？

生：作直线y=1，看直线与两对数函数图像交点横坐标的大小，横坐标大的，底数大，反之底数小。

设计意图：运用类比、对比的方法，明确指数函数、对数函数中的底数，幂函数中的幂指数对函数中的图像有怎样的影响，以及判断哪个图像的底数（幂指数）大小是作图常常要考虑的一个重要要因素。

例3 已知(x1)(32x)，求x的取值范围. 法一：运用幂函数yx的单调性；法二：运用不等式的运算性质处理。

师：你能不能改变一下幂指数，使它成为一个新问题？

问题预设：

1.如(x1)(32x)；(x1)13131313121212(32x)12

这类不等式（幂指数为分数，分子分母互质，且分母为偶数）要注意定义域。

2.如

xx；(2x1)212(2x1)2

2这类不等式（同底数不同幂指数）用数形结合法，作出yx与yx的图像比较图像高低；也可以转化为运用指数函数ya的单调性解题。

设计意图：（1）.因为幂函数的变化类型有限，幂函数的变化情况完全在教师的预料之中，即使一个同学想不全，其它同学也容易补充。

（2）体现方程、不等式、函数这三大知识板块之间的紧密联系。加深对知识间紧密联系的理解。

5.课堂小结：幂函数的图像及性质

6.布置作业：（1）感悟收获：通过本节课的学习，你获得了什么知识？有什么感受？

（2）课后作业：P82

复习参考题A组第10题

x13

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