复习参考题教学设计模板

学习目标

1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用.

1.知识网络

2.要点归纳

(1)函数的零点与方程的根的关系：

①方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. ②确定函数零点的个数有两个基本方法：借助函数单调性和零点存在性定理研究图象与x轴的交点个数；通过移项，变形转化成两个函数图象的交点个数进行判断. (2)二分法

①图象都在x轴同侧的函数零点不能(填“能”或“不能”)用二分法求. ②用二分法求零点近似解时，零点区间(a，b)始终要保持f(a)·f(b)<0；

③若要求精确度为0.01，则当|a－b|<0.01时，便可判断零点近似值为a(或b). (3)在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、对数函数、幂函数三者中增长最快的是指数函数，增长最慢的是对数函数. (4)函数模型

①给定函数模型与拟合函数模型中求函数解析式主要使用待定系数法. ②建立确定性的函数模型的基本步骤是审题，设量，表示条件，整理化简，标明定义域.

③所有的函数模型问题都应注意变量的实际意义对定义域的影响.

类型一

函数的零点与方程的根的关系及应用

例1

已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是____________. 答案

x1＜x2＜x3

解析

令x＋2x＝0，得2x＝－x；

令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；

在同一坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图象，如图可知x1＜0＜x2＜1.

令h(x)＝x－x－1＝0，则(x)2－x－1＝0，

所以x＝1＋51＋52＞1. ，即x3＝22所以x1＜x2＜x3. 反思与感悟

(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断. 2跟踪训练1

若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(

) xA.(1,3)

C.(0,3)

答案

C 解析

显然f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由条件可知f(1)·f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，

即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3. 类型二

用二分法求函数的零点或方程的近似解

例2

在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(

) 1－，0

A.411C.4，2

答案

C 10，

B.413D.2，4

B.(1,2) D.(0,2)

解析

∵f(x)是R上的增函数且图象是连续的，且f(0)＝e0＋4×0－3＜0，f(1)＝e＋4－3＞11110.∴f(x)在(0,1)内有唯一零点.f()＝e4＋4×－3＝e4－2＜0，f()＝e2＋4×－3＝e2－14422＞0，

11∴f(x)在4，2内存在唯一零点. 反思与感悟

(1)根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间. (2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大. (3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，|an－bn|<ε，那么区间(an，bn)内任意一个数都是满足精确度ε的近似解. 跟踪训练2

已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝__________. 答案

2 解析

∵a＞2，

∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b. ∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜loga2＜1，－2＜2－b＜－1. ∴－2＜loga2＋2－b＜0.又1＜loga3＜2，－1＜3－b＜0，

∴0＜loga3＋3－b＜2，即f(2)＜0，f(3)＞0. 又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，

∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点. 类型三

函数模型及应用

例3

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为11千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲20线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. 1111

(1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 1解

(1)令y＝0 ，得kx－(1＋k2)x2＝0，

20由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，

20k202020故x＝＝≤＝10，

2＝1121＋kk＋k－2＋2kk当且仅当k＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米. (2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔

1存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立

⇔

20关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔

判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6. 所以当它的横坐标a不超过6时，可击中目标. 反思与感悟

在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y＝0时求x的最大值)非常重要.另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响. 跟踪训练3

某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时. 答案

24 be＝192，11＋解析

依题意得22k＋b两式相除可得e22k＝，故e11k＝，故e33kb＝e33k·eb＝24，即42e＝48，

该食品在33℃的保鲜时间是24小时.

1.已知函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点有(

) A.0个

C.2个

答案

D 解析

在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图(1)，当0＜a＜1时，如图(2)，故选D. B.1个

D.至少1个

2.如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(

)

答案

D 解析

由晨练的图象可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据四个选项可知只有选项D符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越来越小，选项D也符合.故选D. 3.若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(

) A.(a，b)和(b，c)内

C.(b，c)和(c，＋∞)内

答案

A 解析

由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)·(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A. 4.设函数f(x)＝log3

答案

(log32,1) 5.已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______. 答案

2

1.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围. 2.函数模型的应用实例的基本题型

(1)给定函数模型解决实际问题；

(2)建立确定的函数模型解决问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题. 3.函数建模的基本过程如图

x＋2－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________. xB.(－∞，a)和(a，b)内

D.(－∞，a)和(c，＋∞)内

课时作业

一、选择题

1.若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是(

) 1A.a＞

51C.－1＜a＜

5答案

B 解析

当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0，函数f(x)＝3ax＋1－2a1在区间(－1,1)内是单调函数，f(－1)f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞. 5x2－1，x≤1，2.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(

) 1＋log2x，x＞1，1B.a＞或a＜－1 5D.a＜－1

1A.，0

21C.

2答案

D B.－2,0 D.0 解析

当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x1＝，又因为x＞1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0. 23.若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值(

) A.大于0

B.小于0

C.等于0

D.无法判断

答案

D 解析

考察下列各种图象：

上面各种函数y＝f(x)在(0,4)内仅有一个零点，但是图(1)中，f(0)·f(4)＞0；图(2)中，f(0)·f(4)＜0；图(3)中，f(0)·f(4)＝0. a4.若函数f(x)＝x－没有零点，则a的取值范围是(

) xA.(－∞，0)

C.(0，＋∞)

答案

B 2ax－a解析

f(x)＝x－＝，其定义域为{x|x∈R且x≠0}，故a≤0. xxB.(－∞，0] D.[0，＋∞) 5.函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为(

) 10，

A.811C.4，2

答案

C 11解析

因为f(x)在定义域内为单调递增函数，而在4个选项中，只有f 4f 2＜0，

11所以零点所在区间为4，2. 6.已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2的两个零点分别为α，β，则(

) A.a＜α＜b＜β

C.a＜α＜β＜b

答案

B 解析

设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)是由g(x)的图象向下平移2个单位得到的，而g(x)的两个零点为a，b，f(x)的两个零点为α，β，结合图象可得α＜a＜b＜β.故选B. 二、填空题

1log2x，x＞0，7.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数kx2，x≤0，的取值范围是________. 答案

(0,1] 解析

作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：

B.α＜a＜b＜β

D.α＜a＜β＜b

11B.8，4

1D.2，1

由图可知k∈(0,1]. 8.用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687 5)＜0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1). 答案

0.75(或0.687 5) 解析

因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，

所以方程的近似解为0.75或0.687 5. 9.如图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae么桶2中水量就是y2＝a－ae－nt－nt，那升，桶1与桶2相同，假设过5分钟时桶1和桶2的水量相a等，则桶1中的水量只有时，需再经过________分钟.

8

答案

10 －5n－5n解析

由题意得ae－n(t＋5)＝a－ae，en＝－a1.设再经过t分钟，桶1中的水量只有，则ae8215t＋5a＝，即＝3，解得t＝10. 85b10.我们把形如y＝(a＞0，b＞0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称|x|－a为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________. 答案

4 解析

由题意知，当a＝1，b＝1时，

1y＝＝|x|－11－x＋1x＜0且x≠－1.1x≥0且x≠1，x－1

在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点.

三、解答题

11.已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋b. (1)若b＝－1，函数y＝f(x)在x∈[2,3]上有一个零点，求a的取值范围；

(2)若a＝b，且对于任意a∈[2,3]都有f(x)＜0，求x的取值范围. 解

(1)当b＝－1时，f(x)＝x2－(a＋1)x－1.因为f(0)＝－1，若函数f(x)在[2,3]上有一个零点，f2≤0，1－2a≤0，15则即解得≤a≤. 23f3≥0，5－3a≥0，

(2)将b＝a代入函数f(x)的解析式，得

f(x)＝x2－(a＋1)x＋a. 令g(a)＝(1－x)a＋x2－x，a∈[2,3].

由题意，得g(a)＜0在a∈[2,3]上恒成立，

g2＜0，x2－3x＋2＜0，所以即2解得1＜x＜2. g3＜0，x－4x＋3＜0，

故所求x的取值范围是(1,2). 12.二分法求方程x2－x－1＝0的近似解(精确度0.3). 解

令f(x)＝x2－x－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，故可取区间(1,2)作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下：

区间

(1,2)

(1.5,2)

(1.5,1.75)

∵|1.75－1.5|＝0.25＜0.3，

∴方程x2－x－1＝0的近似解可取1.5或1.75. 中点的值

1.5

1.75

1.625

中点函数值(或近似值) －0.25 0.312 5 0.015 625

13.某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格x(单位：万元/吨)的关系可用如图所示的一条折线表示.

(1)写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系式；

(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？求月利润的最大值. 解

(1)由函数图象可知

5当5≤x≤8时，Q＝－x＋25；

2当8＜x≤12时，Q＝－x＋13. 5－2x＋25，5≤x≤8，所以Q＝

－x＋13，8＜x≤12.(2)设月利润与商品每吨定价x的函数为f(x)，则根据题意得f(x)＝Q·(x－5)－10，

5－x＋25x－5－10，5≤x≤8，即f(x)＝2

－x＋13x－5－10，8＜x≤12，15545x－2＋，5≤x≤8，－228＝

－x－92＋6，8＜x≤12.所以当5≤x≤8时，

1545在x＝处，f(x)取得最大值；

28当8＜x≤12时，在x＝9处，f(x)取得最大值6. 综上可知：该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元.