小结教学设计第一课时

第三章

函数的应用小结与复习

一．知识体系

二．题型与例题分析

题型一

函数的零点与方程的根的关系及应用

1．函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

2．确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．

例1

设g(x)＝e2x＋|ex－a|，x∈[0，ln 3]，其中a≤22，

(1)当a＝1时，函数g(x)是否存在零点，若存在，求出所有零点；若不存在，说明理由．

(2)求函数g(x)的最小值．

解

(1)当a＝1时，设t＝ex(显然t∈[1,3])，

则h(t)＝t2＋t－1，

令h(t)＝t2＋t－1＝0，

－1＋5－1－5解得t＝或t＝都不满足t∈[1,3]，

22∴函数g(x)不存在零点．

(2)设t＝ex，则h(t)＝t2＋|t－a|(显然t∈[1,3])．

当a≤1时，h(t)＝t2＋t－a在区间[1,3]上是增函数，

所以h(x)的最小值为h(1)＝2－a. t2－t＋a

1≤t≤a，当1

t＋t－a

a

因为函数h(t)在区间(a,3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，

又函数h(t)在[1,3]上为连续函数，

所以函数h(t)在[1,3]上为增函数，

所以h(t)的最小值为h(1)＝a.

综上可得：当a≤1时，g(x)的最小值为2－a；

当1

若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数f(x)可以是(

) A．f(x)＝4x－1

C．f(x)＝ex－1

答案

A 11111解析

∵g(0)＝1－2<0，g()＝2＋1－2>0，g()＝44＋－2<0.∴g(x)的零点在(，)内．

242421又∵f(x)＝4x－1的零点为，f(x)＝(x－1)2的零点为1，f(x)＝ex－1的零点为0，f(x)＝ln(x－41111)的零点为2，只有与(，)内的数的差的绝对值小于0.25，所以选A. 442题型二

用二分法求函数的零点或方程的近似解

1．看清题目的精确度，它决定着二分法的结束．

2．根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．

3．初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大．

4．取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，an与bn按精确度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解．

3例2

求2的近似值．(精确度0.01) 3解

设x＝2，∴x3－2＝0，

令f(x)＝x3－2. 3则f(x)的零点即为2的近似值，下面用二分法求解．

由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，可以把初始区间定为[1,2]，

用二分法逐次计算，列表如下：

区间

[1,2]

[1,1.5]

[1.25,1.5]

[1.25,1.375]

[1.25,1.312 5]

[1.25,1.281 25]

中点近似值

1.5

1.25

1.375

1.312 5

1.281 25

1.265 625

中点函数近似值

1.375>0 －0.046 9<0 0.599 6>0 0.261 0>0 0.103 3>0 0.027 3>0 1B．f(x)＝(x－1)2

D．f(x)＝ln(x－1)

[1.25,1.265 625]

[1.257 812 5,1.265 625]

1.257 812 5

－0.01<0

由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5<0.01，

3故区间[1.257 812 5,1.265 625]上的任一值可看做函数f(x)的零点的近似值．即2的近似值是1.265 625. 跟踪训练2

某方程在区间[0,1]内有一无理根，若用二分法求此根的近似值要使所得近似值的精确度达到0.1，则将区间(0,1)分(

) A．2次

B．3次

C．4次

D．5次

答案

C 解析

等分1次，区间长度为0.5；等分两次，区间长度为0.25；…；等分4次，区间长度为0.062 5<0.1，符合题意．

题型三

函数模型及应用

(1)一次函数模型

(2)二次函数模型

(3)指数函数模型

常用函数模型

(4)对数函数模型

(5)幂函数模型

(6)分段函数

y＝kx＋b

y＝ax2＋bx＋c

y＝abx＋c

y＝mlogax＋n

y＝axn＋b

axb(xm)

ycxd(xm)例3

在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的函数关系为R＝kr4(k>0，k是常数)．

(1)假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量速率R的表达式；

(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率．

解

(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．

由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，

400400∴k＝，∴流量速率R的表达式为R＝r4. 8181400(2)∵R＝r4，

81400∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s)．

81即气体通过管道半径为5 cm时，该气体的流量速率约为3 086 cm3/s. 跟踪训练3

为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，

室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数1t－a关系式为y＝16(a为常数)，如图，根据图中所提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．

10t,0t0.1,答案

(1)y1t1

(2)0.6 10(),t＞0.116解析

(1)由题意和图示知，当0≤t≤0.1时，可设y＝kt(k为待定系数)，由于点(0.1,1)在直线上，∴k＝10；

10.1－a同理，当t>0.1时，可得1＝16

1⇒0.1－a＝0⇒a＝. 1011t10(2)由题意可得()<0.25，得t>0.6，即至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．

16三．呈重点、现规律

1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用根的存在性定理，可用来求参数的取值范围．

2．函数模型的应用实例的基本题型

(1)给定函数模型解决实际问题；

(2)建立确定的函数模型解决问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．

3．函数建模的基本过程如图