阅读与思考 集合中元素的个数优秀获奖教案

教学设计

学习目标

1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系;

2. 掌握零点存在的判定定理.

学习过程

一、课前准备

(预习教材P86~ P88，找出疑惑之处)

复习1：一元二次方程 +bx+c=0 (a 0)的解法.

判别式 = .

当 0，方程有两根，为 ;

当 0，方程有一根，为 ;

当 0，方程无实根.

复习2：方程 +bx+c=0 (a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c (a 0)的图象之间有什么关系?

判别式

一元二次方程

二次函数图象

二、新课导学

※

学习探究

探究任务一：函数零点与方程的根的关系

问题：

①

方程

的解为

，函数

的图象与x轴有

个交点，坐标为 .

②

方程

的解为

，函数

的图象与x轴有

个交点，坐标为 .

③

方程

的解为

，函数

的图象与x轴有

个交点，坐标为 .

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程

的根就是相应二次函数

的图象与x轴交点的 .

你能将结论进一步推广到

吗?

新知：对于函数

，我们把使

的实数x叫做函数

的零点(zero point).

反思：

函数

的零点、方程

的实数根、函数

的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系?

试试：

(1)函数

的零点为 ; (2)函数

的零点为 .

小结：方程

有实数根

函数

的图象与x轴有交点

函数

有零点.

探究任务二：零点存在性定理

问题：

①

作出

的图象，求

的值，观察

和

的符号

②

观察下面函数

的图象，

在区间

上

零点; 0;

在区间

上

零点; 0;

在区间

上

零点; 0.

新知：如果函数

在区间

上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么，函数

在区间

内有零点，即存在

，使得

，这个c也就是方程

的根.

讨论：零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.

※

典型例题

例1求函数

的零点的个数.

变式：求函数

的零点所在区间.

小结：函数零点的求法.

①

代数法：求方程

的实数根;

②

几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数

的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

※

动手试试

练1. 求下列函数的零点：

(1) ;

(2) .

练2. 求函数

的零点所在的大致区间.

三、总结提升

※

学习小结

①零点概念;②零点、与x轴交点、方程的根的关系;③零点存在性定理

※

知识拓展

图象连续的函数的零点的性质：

(1)函数的图象是连续的，当它通过零点时(非偶次零点)，函数值变号.

推论：函数在区间

上的图象是连续的，且

，那么函数

在区间

上至少有一个零点.

(2)相邻两个零点之间的函数值保持同号.

学习评价

※

自我评价

你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※

当堂检测(时量：5分钟

满分：10分)计分：

1. 函数

的零点个数为( ).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.若函数

在

上连续，且有 .则函数

在

上( ).

A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点

C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定

3. 函数

的零点所在区间为( ).

A. B. C. D.

4. 函数

的零点为 .

5. 若函数

为定义域是R的奇函数，且

在

上有一个零点.则

的零点个数为 .

课后作业

1. 求函数

的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.

2. 已知函数 .

(1) 为何值时，函数的图象与

轴有两个零点;

(2)若函数至少有一个零点在原点右侧，求

值.