阅读与思考 集合中元素的个数教学设计一等奖

函数的单调性

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1、

通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；

2、

掌握单调性的判断方法，并能简单应用；

一、函数单调性的定义

1、图形描述：

对于函数f(x)的定义域I内某个区间D上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数f(x)在区间D上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数f(x)在区间D上为单调递减函数。

2、定量描述

对于函数f(x)的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，

（1）若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说f(x)在区间D上是增函数；

（2）若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说f(x)在区间D上是减函数。

3、单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数f(x)的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

特别提醒：

1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数yx（图1），当x0,时是增函数，当x,02x1,x2时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

二、用定义证明函数的单调性：

定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是：

1、取量定大小：即设x1,x2是区间上的任意两个实数，且x1

2、作差定符号：即fx1fx2，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；

1

3、判断定结论：

即根据定义得出结论。

三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论

1、函数yfx与函数yfx的单调性相反

2、当fx恒为正或恒为负时，函数y1与函数yfx的单调性相反

fx3、在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数。

四、复合函数单调性的判断 对于函数yf(u)和ug(x)，如果ug(x)在区间(a,b)上是具有单调性，当x(a,b)时，则复合函数yf(g(x))在区间(a,b)具有u(m,n)，且yf(u)在区间(m,n)上也具有单调性，单调性的规律见下表：

yf(u)

u(m,n)

ug(x) x(a,b)

yf(g(x)) x(a,b)

增

↗

增

↗

增

↗

减

↘

减

↘

减

↘

增

↗

减

↘

减

↘

增

↗

以上规律还可总结为：“同增异减”。

类型一用定义证明函数的单调性

2例1：证明：函数f(x)＝2x＋4x在(－∞，－1]上是减函数．

解析：设x10，

Δy＝f(x2)－f(x1)＝(2x＋4x2)－(2x＋4x1) ＝2(x－x)＋4(x2－x1) ＝2(x2－x1)(x1＋x2＋2)．

∵x1

答案：见解析 练习1：证明函数f(x)＝－x在定义域上是减函数 答案：设x1、x2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x10，

Δy＝f(x2)－f(x1)＝－x2－(－x1)＝x1－x2

＝错误!＝错误!

∵x1－x2＝－Δx<0，x1＋x2>0，Δy<0. ∴f(x)＝－x在[0，＋∞)上是减函数．

练习2：

设函数f(x)= ,用单调性定义证明在（-1，+

）上是减函数。

答案：设任意x1∈(－1，＋∞)，x2∈(－1，＋∞)，且x1

x2＋1x1＋1＝

2

x1－x2

x2＋1x1＋1

类型二

证明含参数的函数的单调性

例2：已知函数f(x)＝ax2x－1(a为常数且a≠0)，试判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性．

解析

任取x1、x2，使得－1

则Δx＝x2－x1>0. Δy＝f(x2)－f(x1)＝∵－1

∴x1x2＋1>0，x1－1<0，x2－1<0，

∴22ax1x2＋1x21－1x1－x2x－122，

x1x2＋1x21－1x1－x2<0，

x22－1∴当a>0时，f(x2)－f(x1)<0，

故此时函数f(x)在(－1,1)上是减函数，

当a<0时，f(x2)－f(x1)>0，

故此时f(x)在(－1,1)上是增函数．

综上所述，当a>0时，f(x)在(－1,1)上为减函数，

当a<0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．

答案：增函数．

练习1：判断函数f(x)＝(a为常数且a≠0)在(0，＋∞)上的单调性．

答案：当a>0时，

f(x)在(0，＋∞)上是减函数，当a<0时，

f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

axx2a练习2：判断函数fxa0在,0上的单调性

x答案：单调递减函数

类型三

证明抽象函数的单调性

例3：已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝＋∞)上的单调性，并证明． 解析：F(x)在(0，＋∞)上为减函数．下面给出证明：

任取x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx＝x2－x1>0. ∵Δy＝F(x2)－F(x1)＝＝111fx在(0，

fx2－fx1

fx1－fx2，

fx2fx1又y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且Δx＝x2－x1>0，

∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，

∴f(x1)－f(x2)<0. 而f(x1)<0，f(x2)<0，∴f(x1)f(x2)>0，

∴F(x2)－F(x1)<0，

∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．

答案：减函数

3

练习1：已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝f ²(x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明

答案：增函数

练习2：

函数f(x)＝x²＋2x＋3在[－1，＋∞)的单调性为____ 答案：增函数。

类型四

求函数的单调区间

1例4：求函数y＝x＋，x∈(0，＋∞)的单调区间，并画出函数的大致图象．

x解析：设x1、x2是任意两个不相等的正数，且x10，

11x1－x2x1x2－1Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋)－(x1＋)＝(x2－x1)＋＝(x2－x1). x2x1x1x2x1x2由于00，x1x2>0，

当x1、x2∈(0,1]时，有x1x2－1<0，此时Δy<0；

当x1、x2∈(1，＋∞)时，有x1x2－1>0，此时Δy>0，

1即函数y＝x＋，x∈(0，＋∞)的单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)．

x函数的大致图象如图所示．

答案：单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)。

1练习1：求函数f(x)＝的单调区间．

1－x答案：单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．

练习2：函数yx2xx11的单调递减区间是 答案：

1,2和2,

。

类型五

利用单调性解不等式

2例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)

－1<1－a<1，①2解析：由题意可得－1a2－1，③由①得0

由②得0

∴－2

由③得a＋a－2<0，即(a－1)(a＋2)<0，

4

22

a－1>0∴a＋2<0

a－1<0或a＋2>0

，

∴－2

∴a的取值范围是0

练习1：已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)

3答案： x的取值范围为x|1≤x<. 2练习2：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，且a为实数，则有(

) A．f(a)

C．f(a＋1)

类型六

用单调性求最值

例6:

求f(x)＝x＋x－1的最小值．

解析：f(x)＝x＋x－1的定义域为[1，＋∞)，

任取x1、x2∈[1，＋∞)，且x10，

则Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋x2－1)－(x1＋x1－1) ＝(x2－x1)＋(x2－1－x1－1) f ＝(x2－x1)＋2B．f(a)

＝(x2－x1)·1＋. x1－1＋x2－11∵Δx＝x2－x1>0,1＋∴f(x2)－f(x1)>0. x1－1＋x2－1>0，

∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1. 答案：1 练习1: 已知f(x)＝1，x∈[2,6]，求函数f(x)的最大值和最小值．

x－11答案：f(x)max＝f(2)＝1, f(x)min＝f(6)＝. 5练习2:

函数yx1在2,2上的最大值与最小值分别为 。

答案:ymax3,ymin0

1、证明函数f(x)x3xR是增函数。

答案：证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1

5



f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x1x2x2)

∵x1x2 ∴x1x20

，

又∵x1x1x2x2223222x3x(x12)220, 242∴f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2) ∴f(x)x3在R上是增函数。

x2a 2、求函数fxa0的单调区间。

x答案：,0和0,。

x22004x的单调递增区间. 答案：2004,.

3、求函数y

4、如果函数fxxbxc，对任意实数t都有f2tf2t，比较2f1,f2,f4的大小。

答案: f2f1f4

5、已知fxx21ax2在,4上是减函数，求实数a的取值范围。

2 答案：a3

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基础巩固

1. 下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是(

) 1A．y＝2

xB．y＝x

D．y＝x

23C．y＝x 答案：D 02．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的增函数，则有(

) 1A．a> 21C．a>－ 2答案：A

6

1B．a≤

21D．a<

2

3．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是(

) A．fx1－fx2>0 x1－x2B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 D．C．f(a)0 fx1－fx24．

函数f(x)＝－x＋2ax＋3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是(

) A．a<4 C．a>4 答案：D 5．若函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，B．a≤4

D．a≥4

2c)上(

) A．必是增函数 C．是增函数或是减函数 答案：D 6．

下列函数在区间(0,1)上是增函数的是(

) A．y＝|x|

1C．y＝ 2＋x答案：A ∴函数y＝|x|在(0,1)上是增函数．

7．

函数y＝x＋bx＋c在区间(－∞，1)上是减函数时，b的取值范围是(

) A．b≤－2 C．b>－2 答案：A

能力提升

8. 已知函数f(x)＝，证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．

2x－1

答案: 设任意x1∈(1，＋∞)，x2∈(1，＋∞)，且x1

D．无法确定单调性

B．y＝3－2x

D．y＝x－4x＋3 2xf(x2)－f(x1)＝＝x2x1－

2x2－12x1－12x1x2－x2－2x1x2＋x1

2x2－12x1－17

＝x1－x22x2－12x1－1

∵x11，x2>1，

∴2x1－1>0,2x2－1>0，

∴x1－x22x<0，

2－12x1－1∴f(x2)

故函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．

9. 求函数y＝x－1－1x的最小值．

答案：-1 10. 已知函数f(x)对任意x、y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，23. (1)求证：f(x)是R上的单调递减函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．

答案：(1)证明：设x1、x2是任意的两个实数，且x10，

∵x>0时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，

又∵x2＝(x2－x1)＋x1，

∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，∴f(x2)

∴f(x)是R上的单调递减函数．

(2)解：由(1)可知f(x)在R上是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．

而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×2－3＝－2. ∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.

课程顾问签字： 教学主管签字：8 f(x)<0，f(1)

＝－