习题2.2主要内容及教案内容

《对数及对数函数》练习题讲解

知识梳理：

1、对数的定义：如果 a(a>0,a≠1)的b次幂等于N, 就是a=N，那么数

b叫做

a为底

N的对数，记作logaN=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。（N > 0）

2、指数和对数的关系：abN logaNb

3、对数恒等式：∴loga10， logaa1

，alogabNN

loga(MN)logaMlogaNMlogaMlogaN4、运算法则：logaNnlogMnlogaM(nR)a5、换底公式：logab

logca

logcbnlogab（

a, b > 0且均不为1）

mx6、两个较为常用的推论：

1

logablogba1

2

logambn7、对数函数定义：函数

ylogax

(a0且a1)叫做对数函数；它是指数函数ya

(a0且a1)的反函数。

8、对数函数图象和性质：

a

图象

a>1 0

定义域

值

域

定

点

单调性

典型例题：

例1、求下列各式中的x．

(1)log4x5312

；

(2)logx5

；

(3)logx2(x2x2)0．

221

4255解：(1)x()．

(2)x25，得x53325．

542x22x21

(3)由对数性质得解得x3．

x20,x21

变式：计算：

(1)(logx4)29

；

(2)log(x1)(x28x7)1

；（3）log2（解析

(1)logx43，得x34或x3（3）令

xlog2313223

1．

(2)由对数性质得x8．

41x123=, ∴, ∴x1）

log232323323例2：计算（1）计算：log155log1545+(log153)2

（2）lg8lg125lg2lg5lg10lg0.1

（3）lg522lg8lg51g20(lg2)2

3解：（1）解一：原式

= log155(log153+1)+(log153)2=log155+log153(log155+log153) =log155+log153log1515 =log155+ log153= log1515

解二：原式

= log151522log15(153)(log153)=(1-log153)(1+log153)+(log153)

3=1-(log153)2+(log153)2=1 8125)252lg(2252)2lg1024

（2）＝212lg10lg(（3）原式2lg52lg2(1lg2)(1lg2)(lg2)

22(lg5lg2)1(lg2)2(lg2)23

1)2lglg0.06

（＝1）

6（2）(log43log83)(log32log92)log1432

变式：计算：（1）lg5lg8000(lg232

解：原式(log223log233)(log32log322)log12

2541115535555log2log

(log

log23log32

2323)(lo3g32)23246244422

例3：已知log189a，185，求log3645．

解：由log189a可知alog18b181log182，又由18b5，可得

2blog185，故log3645log1845log189log185ab

log18361log1822a变式：若log

8 3 = p ,

log

3 5 = q

,

求

lg 5

解：∵

log

8 3 = p

∴log233plg33plg23p(1lg5)

又∵

log35lg5q

∴

lg5qlg33pq(1lg5)

lg33pq

13pq

∴

(13pq)lg53pq

∴

lg5例4：比较下列各组数的大小：



(2)p0.95.1，m5.1

(1)ln0.99与ln0.920.9，nlog0.95.1

(3)若1xd,alogdx,blogdx2,clogd(logdx)．

，故ln0.99

解：(1)由ylnx在0,上单调递增，且00.990.9

(2)log0.95.1log0.910，而0.9

npm

(3)令logdxu，由1xd可知0lodgx1即5.10.901，5.10.95.101，

u0,1．

则au,b2u,clogdu，u0,1，

2

在同一坐标系下画出这三个函数的图象，

如图示：

可知b最大，c最小，即cab．

变式：比较下列各数大小：

1 (1)log0.30.7与log0.40.3 (2)

log0.60.8,log3.40.7和312

(3)

log0.30.1和log0.20.1

解：（1）

∵log0.30.7log0.30.31 log0.40.3log0.40.41

3

∴log0.30.7log0.40.3

(2) ∵0log0.60.81 log3.40.70 13121

∴log3.40.7log0.60.81312

(3) 解：

log0.30.11log0.10.30 log0.20.11log0.10.20

∵log0.10.3log0.10.2 ∴log0.30.1log0.20.1

例5：求下列函数的定义域、值域：

(1)y2x(4) y211

(2)

ylog2(x22x5) (3) ylog1(x24x5)

43loga(x2x)

x21解(1)：要使函数有意义，必须：210

即：x2121x1

422 值域：∵1x1 ∴1x0

从而

2x11

∴12x4211x ∴022221111 ∴0y

442(2)∵x2x5对一切实数都恒有x2x54 ∴函数定义域为R 从而log2(x22x5)log242 即函数值域为y2

(3)函数有意义，必须：x4x50x4x501x5

由1x5 ∴在此区间内

(x24x5)max9

∴

0x4x59

从而

log1(x4x5)log192 即：值域为y2

32222223(4)要使函数有意义，必须：

xx0 ① loga(x2x)0 ②

4

由①：1x0

2 由②：当a1时

必须

xx1 x

2当0a1时

必须

xx1 xR

综合①②得 1x0且0a1

2 当1x0时 (xx)max112 ∴0xx

44 ∴loga(xx)loga变式：求下列函数的定义域

211 yloga (0a1)

44(1) ylog(5x1)(7x2)

(2)y(3)yloga(ax1)(a0,a1)

log0.5(3x2)

5x1022222

解：(1)由5x11得x且x

．所求定义域为,,．

757557x20(2)由log0.5(3x2)0得03x21，解得22x1，所求定义域为,1．

33xx(3)由a10得a1，当a1时，x0，当0a1时，x0．

所求定义域为当a1时，x0,；当0a1时，x,0．

例6：已知f(x)loga1x

（a0,a1）

1x(1)求f(x)的定义域

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)求使f(x)＞0的x的取值范围．

解：（1）令1xx10,得0，

1xx1即(x+1)(x-1)＜0，

故f(x)的定义域为(-1，1)．

又因为f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数．

5

变式：求函数ylog1(x23x18)的单调区间，并用单调定义给予证明。

2解：定义域

x3x180x6或x3

单调区间是(6,) 设x1,x2(6,)且x1x2

则 2y1log1(x13x118) y2log1(x23x218)

2222 (x13x118)(x23x218)=(x2x1)(x2x13)

∵x2x16 ∴x2x10 x2x130

∴x23x218x13x118 又底数0 ∴y2y10 y2y1

222211 2 ∴y在(6,)上是减函数。

6