2.2.1 函数的单调性名师教学视频（文字实录）

函数单调性

江苏省淳辉高级中学

李慧敏

苏教版普通高中课程标准实验教科书（必修）

数学⑴

【教学目标】

一、

知识与能力目标：

1、

理解函数的单调性的概念，能根据图像正确地指出单调区间。

2、

会判断并证明一些函数的单调性。

3、

会运用单调性来解决一些简单的地实际问题。

二、

过程与方法目标：

1、

理解单调性概念的形成过程：从具体的图象入手到严格的数学语言表述

2、

合理运用比较大小等代数知识来完成单调性证明

三、

情感、态度与价值观目标：

1、

培养学生观察分析、抽象概括、归纳类比、推理论证和语言表达的能力

2、

领会局部与整体的辩证关系

3、

更深层次地认识函数，体会数学的简约美

【教学重点、难点】

1、

理解单调性的概念。

2、

会判断和证明一些简单函数的单调性，并能运用单调性解决一些实际问题。

【教学方法和教学手段】

1、

利用启发、引导的方法，让学生把握学习的重点

2、

通过创设问题情境激发学生观察、探究

3、

采用师生互动、分组讨论的方式，营造民主、和谐的学习氛围

4、

借助与多媒体技术的整合完成教学任务

【教学过程】

一、

创设情境，引入概念：

情境一：在一杯200ml水中加入糖，连续地均匀地加，糖水会有怎么样变化？

【生】糖水会越来越甜

情境二：山脚下，水沸腾的温度是100℃；而在山顶，水沸腾的温度是80℃。请问，在半山腰，水沸腾的温度可能是（

）并说出你的理由

A、105℃

B、92℃

C、75℃

【生】水沸腾的温度会随高度的增加而降低

【师】很好！你能用图示（比如用曲线）来表示刚才的两个变化吗？

你能用自己的语言来描述相应曲线的变化趋势吗？

【生】随着加入糖的量的增加，曲线呈现出上升的趋势；

随着高度的增加，曲线呈现出下降的趋势。

方案一

【师】生活中处处都可以看到这样的曲线，今天啊，有一位职员给他的上司递交了一份报表，其中有这样一份报表：

【师】请你用自己的语言描述一下这段曲线。

【生】当工人数目从0增加到100时生产率逐渐增加，曲线呈现出上升的趋势；当工人数从100到150时生产率逐渐减小，曲线呈现出下降的趋势。在工人数为100

时生产率最大，曲线达到最高点。

【师】如果你是他的上司，你会作出什么样的决定？请说说你的理由。

【生】我会裁员五十人，理由是100个工人时生产率最高。

方案二

【师】你能举出一个随着什么的变化而变化的例子吗？

【生】函数图像

【师】一条简简单单的曲线你居然能说出那么多东西，真的太棒了！看！数学是多么得美——看似简单，而其中却包含着丰富的内容——简约美！

二、观察归纳，感知概念：

【师】象这样的曲线我们都可以把它们看作是一个函数的图象（把图中的坐标都变为x,y）。请你用更加数学化的语言来描述曲线呈上升或下降趋势的意思吗？

【生】函数值随自变量的增加而增加或是减少

【师】曲线的这种上升或是下降的趋势就是我们今天要学习研究的函数的单调性。（板书：单调性）

象这样图象呈上升趋势的，我们就把它叫作函数在这段上是单调增函数；图象呈下降趋势的，叫作单调减函数。

三、讨论探究，建立概念：

【师】你能进一步明确图象呈上升或是下降的趋势的数学意义吗？

你能给出单调性的定义吗？以第一与第二个情境为背景来描述。

（板书：一、单调性的定义）

【生】函数值随着自变量x的增加而增加的函数叫增函数。

【师】自变量的增加，函数值随着自变量x的增加而增加又是什么意思呢？能用数学符号来表示吗？

能不能说，因为f(2)=0.01，f(10)=0.05，0.05>0.01，所以它就是增函数？

【生】不能

【师】那怎么说就妥当了？

【生】应该是任意的。

【师】好，下面小组讨论一下，应该怎么说就数学了？

请说出定义中的关键词。（板书：1、区间、任意

2、单调区间）

思考：1、我们能说y=x2在R上的单调的吗？为什么？从中你又悟出了什么？（单调性是曲线的局部性质）

2、请根据我的提示画出一个符合条件的图形：（引出最值）

思考：辨别单调区间的写法及其对与错

四、简单应用，深刻理解：

1例1、求证：函数f(x)1在区间(,0)上单调递减函数。

x【分析】实质就是比较大小

【证明步骤】取值—作差—变形—定号—结论

还有什么方法可以比较大小？证明过程中关键的步骤是什么？

变题：讨论函数在定义域上的单调性。

例2、已知函数yf(x)的定义域是[a,b]，a

调增函数；当x[c,b]时，f(x)是单调减函数。试证明f(x)在x=c时取得最大值。

【分析】其它工具都用不上，唯有定义可以用

【解题关键】定义的灵活应用

五、回顾反思，升华概念：

三个重要的条件：x1x2,f(x1)f(x2)，f(x)是增函数。任由你组合，你能组合出几个论断？

类比一下，请写出减函数中的相关结论；以此为背景来试着编题。

如果把条件等价转化一下x1x20,f(x1)f(x2)0，你能得到什么结论呢？

六、本节小结（由学生来口述）

今天我们一起学习了函数的单调性，学会了单调性的定义，最值求法等。

七、板书设计

函数单调性

一、函数单调性的定义

1、关键词——给定区间、任意、都有

2、单调区间——书写注意点

二、单调性的应用

1、证明单调性——步骤、注意点

2、定义的延伸

3、最值

教学设计说明：

新的课程标准对数学的教学提出了更高的要求，在教学过程中更加注重知识的产生过程，注重知识的再现。由于本节内容是函数概念的第二节的第三块内容，是函数简单性质中的第一个性质，学生第一次明确感受函数性质的有关概念，因此本节课把设计的重点放在函数单调性定义的产生过程上，试图让学生能自己感受定义并说出定义，希望在这种设计下，学生能不断地体会到单调性的概念产生的过程，能从自然语言到数学语言再到符号语言，一步一步地接触到数学的本质，一点一点地体会到数学的简洁、简约之美，最后从数学的角度来进一步的、更深刻地理解单调性的定义，以便日后能灵活地运用单调性的定义来解决数学问题。

本节课在一开始设计的三个引例：一个是学生生活中司空见惯的，一个是学生间接积累的经验，一个是与学生的生活稍有点距离的，但是都是学生可以理解的。通过这些例子，让学生自己来试着画出曲线，首先是一个从生活中抽象出数学问题的思维训练，然后在老师的引导下，学生通过自主学习、合作探究不断地揭示出数学的本质，体会生活中的问题是怎样一步步被抽象成数学问题的思维过程。

问题设计时，又从一个写单调区间的问题引申出一系列的问题：

1、单调区间的写法，让学生更加深刻地理解单调区间是道义域的子集

2、从图像可以很容易地看出单调性，如果没有图像呢？引导学生思考、总结判断函数单调性的方法

3、由图像中可以看出最值，从而引出最值的概念

4、由图像又可以进一步引出例2，更加深对单调性的“恒成立”的理解

在教学过程中还设计了一系列的小思考题，目的是让学生辨明概念，用一系列的问题串串起课堂，同时也在循序渐进地把学生引进数学的殿堂，加深思维的层次，促进学生主体的参与，亲自去体验、感受数学真的是很美的！