2.2.2 函数的奇偶性教学实录

高一年级数学必修一1.3.2《函数的奇偶性》

梅江中学 张焱

教师简介

本人从教17年，班主任17年。大学本科毕业，后取师大在职研究生结业证书。撰写的多篇教育、教学论文获国家级、市、区级奖项。多次获得十佳教师、十佳班主任称号，是2014年天津市河西区“五一”劳动奖章获得者。本人又有丰富的教育、教学经验，教学成绩显著。

我的策略

观察日常生活中的对称现象（产生对“对称”的感性认识）→观察数学图形（具有对称性的函数图象）→动手操作（折叠）实验→再观察思考→对称性的定性描述→尝试定量刻画→建立函数的奇偶性定义→性质讨论→问题解决与应用→再探究与引申。

领悟的是数学学习的方法，学生得到的是自己探究的结果，体验的是成功的喜悦.努力创设有利于学生“自主探索、合作交流”学习的问题情境，推迟结论（结果）的达成。课堂教学不仅要注重知识的落实和结果，更要注重学生的学习过程，在教学过程设计中，注重了从正反两个方面的强化，并设计了概念在图象、判断、推理等方面的简单应用，以加深学生对所学概念的理解。

教学设计

一．教材分析

1 . 教材的地位与作用 

内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节; 

函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用; 

奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

2 . 学情分析 

已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；



在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；



高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高；



高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。 二．目的分析



教学目标知识与技能目标：

……理解函数奇偶性的概念

……能利用定义判断函数的奇偶性



过程与方法目标：

……培养学生的类比，观察,归纳能力

……渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再 从具体到一般的研究方法



情感态度与价值观目标：

……对数学研究的科学方法有进一步的感受

……体验数学研究严谨性，感受数学对称美

重点与难点 

重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断



难点：函数奇偶性概念的探究与理解

三．教法、学法

教法



借助多媒体和几何画板软件 

以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式



遵循研究函数性质的三步曲

学法



根据自主性和差异性原则 

以促进学生发展为出发点



着眼于知识的形成和发展



着眼于学生的学习体验

四．过程分析

设问激疑，创设情景

布置作业，回归拓展

概括猜想，揭示内涵

课时小结，知识建构

讨论归纳，形成定义

4 强化定义，深化内涵

（一）情境导航、引入新课

概念辨析，升华提高

讲练结合，巩固新知

问题提出

源于生活，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？

（二）构建概念、突破难点

考察下列两个函数：

f(x)x2(1) (2) 思考1:这两个函数的图象有何共同特征？

思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？

一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当自变量x任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等。 即 f(-x)=f(x) 思考3:怎样定义偶函数？

(x)x2,x[3,2]偶函数吗？偶函数的定义域有什思考4:函数f 么特征？

练1：判断下列函数是否为偶函数？（口答）

2

2

2(3)f(x)x,x[2,1)(1,2]

（三）合作探究、类比发现

仿照讨论偶函数的过程，回答下列问题，

f(x)|x|(1)f(x)x,x[1,1](2)f(x)x,x[1,1)共同完成探究

f(x)xf(x)1x

(1)请你仔细观察这两个函数图象，它们又有什么共同特征？

（2）

请你完成下列函数值对应表，描述它们又是如何体现这些特征的呢？ （3）

你能尝试利用数学语言描述函数图象的这个特征吗？

（4）

奇函数的定义

练2：判断下列函数是否为奇函数？（口答）

(3)f(x)x3,x[2,1)[1,2]

强化定义，深化内涵

☆对奇函数、偶函数定义的说明: （1）

如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。

(2). 函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。 (3) 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。

若f(x)为偶函数,则f(-x)= f(x)成立。

练3：奇函数定义域是[a,2a+3]，则a=_____. （四）讲练结合，巩固新知

例1. 利用定义判断下列函数的奇偶性

（1）(1)f(x)x3,x[1,1](2)f(x)x3,x[1,1)f(x)x32x

☆

小结：用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断f(－x)与f(x)的关系；

(3)若f(-x)=f(x)则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x)则f(x)是奇函数. 练习4.利用定义判断下列函数的奇偶性

1

(1)f(x)x(2)f(x)x21

x2(3)f(x)0(4)f(x)xx

总结：根据奇偶性, 奇函数 函数可划分为四类: 偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数

奇偶函数图象的性质: ⑴ 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数. ⑵ 偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数为偶函数. 注：奇偶函数图象的性质可用于： ①.判断函数的奇偶性； ②.简化函数图象的画法。

练5：判断下列函数是否为偶函数或奇函数？（口答）

y y o (1y o

x o (2y x

x o (4) x

(3)

例2.已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.

解：

y 相等0 x

练习6：（1）已知函数y=f(x)是(,0)(0,)上的奇函数，它在上的图像如图所示，画出它在(0,)(,0)上的图像。

y (0,)3 1 0 2 x

（五）拓展迁移，能力提高

例3. 利用定义判断下列函数的奇偶性

1x2 （1）

f(x)

x22

x(1x),x0（2）f(x)

x(1x),x0（六）课时小结，知识建构

奇偶性

奇函数

定

义

偶函数

设函数y=f(x)的定义域为D，任意 x属于D ,都有-x属于D . f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)

关于原点对称

关于y轴对称

图

像

性

质

判断

步骤

定义域是否关于原点对称. f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 判断或证明函数奇偶性的基本步骤：

一看——二找——三判断

注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y轴对称或者关于原点对称。

（七）布置作业，回归拓展

层次一：教材第39页，习题1-3A组，第6-8题；

层次二：教材第39页，习题1-3B组，第2-4题；

层次三：补充题

（1）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+1,求x<0时，f(x)的解析式. （2）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+1,求f(x)的解析式. （八）板书设计

§2.1.4函数的奇偶性

一 奇偶函数的定义 二 函数奇偶性的判断 三 例题讲解 四 课堂小结

五 作业布置

我的反思

1、成功之处：在教学中，自己对几个地方的处理还是比较满意的。 （1）、设计教学的切入点，激发学生学习的兴趣

在现实的教学中，学生普遍对数学课缺乏兴趣，感到数学课枯燥、乏味、抽象，只是与数字、字母、公式打交道的学科。如何挖掘教材的兴奋点、好奇点，以问题为教学出发点，激发学生的好奇心和学习兴趣呢？我想起初中课本在讲解对称的有关知识时，列举了大量的生活中的图片，这是可以借鉴的。

（2）、重视让学生经历奇偶性概念的形成过程 新课程实施要求教师改变传统教学形态，强调教学要师生共同探讨，教师要关注教学和学生学习的过程。认知活动要从重视结果教学向重视教学过程转变。而所谓重过程就是教师在教学中把教学的重点放在教学过程，放在揭示知识形成的规律上，让学生在感知、概括、应用的思维过程中去发现真理，掌握规律。

在函数的奇偶性概念的学习中，最让学生感到困惑的是：如何突破常量到变量的转化，从而达到由直观到抽象。最容易让学生忽略的是：定义中“任意”一词使用的重要性。教学中，如何突破这一教学难点，让学生经历概念的形成过程呢？我主要采用了两点： Ⅰ、利用几何画板的动态优势

Ⅱ、对名称来历加以解释

（3）、利用了函数平台演示系数对函数图象的变化 在往届高一的教学中，总有学生对概念理解不清，认为二次函数都是偶函数。所以我想在第一节课时里就让学生能澄清这种错误的认识。这就需要了解，对于一次函数和二次函数，系数对函数图象有哪些影响？哪些系数能影响函数的对称轴或对称中心？利用函数平台依次演示c、b、a对二次函数图象的影响，并渗透：二次函数是偶函数b=0。同样，利用函数平台演示b、k对一次函数图象的影响并渗透：一次函数y=kx+b(k≠０)是奇函数b=0。事实证明，这种处理的效果还是很不错的。 （4）、从效果来看，基本达到教学的目标，从形和数两方面引导，使学生从文字、图形、符号三种数学语言理解了奇偶性的概念,并会利用定义判断简单函数的奇偶性。在奇偶性概念形成过程中,培养了学生的观察、归纳能力,同时渗透数形结合思想、运用符号及变元表示的思想、以及从特殊到一般的数学思想方法。设计情境，让学生感受数学美的同时,激发他们学习的兴趣,培养学生乐于探索的精神。本节课突出了教学重点：函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。利用多种手段，有效的突破了教学难点：对函数奇偶性的概念的理解。

2、不足之处：上完了课，再仔细回味，发现有些地方确实不太满意。 对教学过程中学生的参与有所不足：

我们的教学要“以学定教”，要保证学生在课堂上有充分的时间参与训练，尽可能的参与教学活动。我也尽可能的朝着这方面努力。