3.3 幂函数教学设计及说课稿

“幂函数”的教学设计

江苏省高邮中学 戴荣臻

一、教材分析

地位与作用：本节课选自新课程苏教版必修1第二章第4节，幂函数是继指数函数和对数函

数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待yx,yx，yx,y231等以前已经接触的x函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。

重点与难点：重点是常见的幂函数的图象和性质；

难点是幂函数的图象和性质的总结。

二、教学目标

知识目标：

（1）了解幂函数的概念； （2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；

（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

能力目标：在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的

意识和思想。

情感目标：通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品

质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

三、学情研究

学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。

四、设计思想

由于幂函数的性质随幂指数的轻微改变会出现较大的变化，因此要学生在一节课中象指数函数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的，因此本人采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先重点研究了几个常见的幂函数的图象和性质，然后通过几何画板软件动态演示幂函数的图象（在第一象限）随幂指数连续变化情况，让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况（其他象限内的情况，可结合奇偶性得到），最后再通过改变画板中的幂函数的幂指数（用参数的方法），让学生预测将要出现什么样的图象，让学生检测自己探索成果的有效性，体验成功，享受学习的乐趣。

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五、教具选择

多媒体平台，几何画板课件

六、过程设计

创设情境：（多媒体投影）

问题1.某人买每千克1元的蔬菜，则其需付的钱数p（元）和购买的蔬菜的量（千克）w之间的有何关系？

2.正方形的面积S和它的边长a之间有何关系？

3.正方体的边长V和它的边长a之间有何关系？

4.问题2中，边长a是S的函数吗？

5.问题3中，边长a是V的函数吗？

6.某人在t秒内行进了1千米，那么他的行进的平均速度v为多少？

学生很容易回答出这六个关系式（都是函数关系式）分别是：

pw,Sa2,Va3,aS,aV1213,vt1

启发建构：

问：这六个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？

这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：yx,yx2,yx3,yx,yx它们都是形如yx的函数。（投影幂函数的定义。）

揭示课题：今天这节课，我们就来研究：幂函数

深化认知：（1）下列函数是幂函数的是：

2A.y2x

B.y2x

C.y1213,yx1，便于看出特征

1x

D.y2

x

（2）幂函数与指数函数有什么联系和区别？

（3）幂函数

①y＝xα中的α是任意实数，要确定一个幂函数的解析式，只需确定出α即可．

②要把幂函数和指数函数区别开来，幂函数的底为自变量，指数为常数，指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量．

学生实践：

请同学们画出下列常见的幂函数的图象，并根据图象将发现的性质填入表格

yx,yx2,yx3,yx,yx

1213,yx1,yx2（投影显示表格）

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定义域

值域

奇偶性

单调性

特殊点

yx

yx2

yx3

yx

12yx

13yx1

yx2

教师在这期间予以巡视指导，稍后，对学生感觉可能比较难画而不能肯定的四个函数yx、yx、yx和yx2的图象，利用几何画板现场画出。为了不让学生感觉太突然，应该使用画板里的追踪动点轨迹的方式作图，近似于描点作图，这样可以让学生从中感受幂函数的值随x变化而变化的情况。然后再作出完整的图象。（图1是在作yx2图象的过程中的情况）

师生共同完成上表。

图1

观察上表，组织学生讨论总结出这几个函数共同的性质：

31213yx，yx

2，yx

，yx

，yx

31213（1）图象都过点（0,0）和（1,1）；

（2）在［0,＋∞）上是增函数。

yx1

，yx2

（1）图象都过点（1,1）；

（2）在（0,＋∞）上是减函数。

类比联想

拓展探究：

我们研究的几个常见的幂函数的性质，是否也适合其他的幂函数，一般的幂函数怎样去研究它的性质呢？让同学们讨论、猜想一般的幂函数的图象和性质。

结论1：只要幂函数的定义域是关于原点对称的（或者说定义域中有负数），则其一定具有奇偶性。

思考：哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？

结论2：第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、第三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断（结合结论1）。

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老师用几何画板画出函数yx在第一象限内的图象，改变α的值，组织学生观察、分析所得的函数图象，在动态的变化过程中，让学生了解幂函数的性质里本质的、共性的东西。师生共同得出：

结论3：(1)幂函数图象的性质：

①都过点(1,1)；

②α>0时，图象在第一象限内图象是上升的，α<0时，图象在第一象限内图象是下降的；

提醒注意：α>1和0<α<1时图象的区别（可以概括为“快增”和“慢增”）

③除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限；

④任何两个幂函数图象最多有三个公共点，除(1,1)，(0,0)，

(－1,1)，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点；

⑤α>0时幂函数图象总过原点，α<0时，幂函数图象不过原点．

(2)幂函数的图象在第一象限的分布规律：

①在经过点(1,1)平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布；

②幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、二象限关于y轴对称，幂指数的分子、分母都是奇数时，图象在第一、第三象限关于坐标原点对称

数学运用：

例1.写出下列函数的定义域，并指出奇偶性：

(1)yx12(2)yx1332(3)yx(6)yx2345

(4)yx2(5)yx

探究：①怎样便于看出幂函数的定义域？（写成根式的形式）

②观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？

例2.比较下列各组数的大小：

（1）1.10.1,1.20.1

（2）0.240.2,0.250.2

0.3

例2引申：比较0.2

,0.30.3,0.30.2

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点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；

底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性。

变式训练：

1．比较下列各题中两个值的大小．

11111.51.522(1)1.1－，0.9；

(2)(a＋1)，a(a>0)；

(3)2，1.83. 2

1a2．已知a＝x，b＝x2，c＝xa，α∈(0,1)，x∈(0,1)，则a、b、c的大小顺序是________．

α

七、教后反思

先请同学说说本节课学到了什么知识和思想，然后师生共同总结得到共识：要想系统认识幂函数的性质，必须从它的图象着手，重点抓住幂函数在第一象限内的图象特征，然后根据奇偶性作出其它象限内的图象，因而对函数的定义域和奇偶性的分析很重要。

八、作业

课本P73 1.2.3.4

九、板书设计

幂函数

提出问题

结论1 结论2 结论3 问题解决

例题1. 例题2. 变式

投影屏幕

总结反思

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