阅读与思考 集合中元素的个数教学设计第二课时

集合

一、知识结构

本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．

二、重点难点分析

这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法．

1．关于牵头图和引言分析

章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化．一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础．

2．关于集合的概念分析

点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念．

初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明．

我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界．

1.理解集合的概念；

2.掌握集合的两种表示方法；

3.会正确使用符号这三个学习目标即可

知识目标：

（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法

（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

能力目标：

（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

德育目标

：

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合

授课类型：新授课

1

在初中，我们学过哪些集合？

实数集、二元一次方程的解集、不等式（组）的解集

、点的集合等。

2.在初中，我们用集合描述过什么？

角平分线、线段的垂直平分线、圆、圆的内部、圆的外部等。

引入：（初中我们所学的点，线，面都是几何中原始的、不加定义的概念，只能对它作描述性的说明。今天我们再学一个原始的，不加定义的概念—集合，集合是康托的集合论中的原始的，不加定义的概念。我们对它只能作描述性的说明。集合这个词我们并不陌生，

在初中，我们学过哪些集合？

实数集、二元一次方程的解集、不等式（组）的解集

、点的集合等。

我们用集合描述过什么？

角平分线、线段的垂直平分线、圆、圆的内部、圆的外部等。

初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．到底集合是指什么嘛？今天我们就来揭开同学们的这个迷。我们首先观察下面几组对象：

1.

1，2，3，4，5；

A={1，2，3，4，5} 2.

所有大于100的实数；

B={所有大于100的实数} 3．直角三角形；

4．x2,3x2,5y2,x2,x2y2

5．重庆生产的嘉陵摩托。

6．

与一个角两边距离相等的所有点

7．中国的直辖市

上面几组对象分别是由一些确定的数，图形，整式，物体组成。象这样，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。一般用大括号表示集合，我们还通常用大写的拉丁字母A、B、C……表示集合。例如A＝｛a,b,c｝。集合里的每个对象叫做这个集合的元素。

2.

集合的元素与集合的关系

1.集合

点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念. 一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.一般用大括号表示集合，例如“汽车，飞机，轮船”等交通运输工具组成的集合可以写成｛汽车、飞机、轮船｝为了方便.我们还通常用大写的拉丁字母A、B、C……表示集合，例如A＝｛a,b,c｝. 2.集合中的元素

集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆. 集合中的元素常用小写的拉丁字母a,b,c，…表示. 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；

如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.

3.集合中元素的特性

(1)确定性 对于集合A和某一对象x，有一个明确的判断标准是x∈A，还是x A，二者必成其一，不会模棱两可.

例如，“著名的数学家”，“漂亮的人”这类对象，一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准.

(2)互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；因此，集合中的相同元素只能算作一个，如方程x2-2x+1=0的两个等根，x1＝x2＝1，用集合记为｛１｝，而不写为｛1，1｝，如果把集合｛１，２，３｝，｛2,3,4｝的元素合并起来构成一个新集合，那么新集合只有1，2，3，4这四个元素.

(3)无序性 集合中的元素是不排序的，如集合｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合，但实际上在书写时还是按一定顺序书写的，如｛-1，0，1，2｝而不写成｛0，1，-1，2｝，这样

2

写不方便，其更深刻的含义是揭示了集合元素的“平等地位”.

4.集合表示法

(1)列举法 将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内.

(2)描述法

：用明确的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式是{xA|P(x)} p(x)为x所满足的条件。

举例：不等式

的所有解构成的集合可表示为：{xR|x13}或{x|x13}

不等式的整数解构成的集合可表示为：{xZ|x13}

注：

用描述表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义．

例如，集合｛y｜y=x2｝表示函数y值的全体，即｛y｜y≥0｝；集合｛x｜y＝x2｝表示自变量x的值的全体，即｛x｜x为任一实数｝；集合｛(x,y)｜y=x2｝表示抛物线y=x2上的点的全体，是点集(一条抛物线)；而集合｛y=x2｝则是用列举法表示的单元素集，也就是只有一个元素(方程y=x2)的有限集. 这两种方法的优缺点：各有优缺点，究竟用什么方法要视情况而定。有些集合使用两种方法都行，有些集合只能用{x|1x3}，而集合{1,2,3}不宜用描述法表示。

(3)图示法 为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭曲线，用它的内部来表示一个集合，例如，如图可表示集合｛1,2,3,4｝

例

1、用描述法表示下列集合

①{1，4，7，10，13}

②{-2，-4，-6，-8，-10}

2、用列举法表示下列集合

①{x∈N|x是15的约数}

{1，3，5，15}

②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}} {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）} 注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}

3、请区分下列各组中的集合：

1.{(1,2)}, {1,2}, {x=1,y=2}; 2. 实数集R, {实数集}，

{R} 4.{a,{b,c},d}, {a,b,c,d} 5. {x|x-3>2}与{x-3>2} 5.特定集合表示法

自然数集(或非负整数集)，记作N，

自然数集内排除0的集，也称正整数集，记作N*或N+(注意，自然数集包括0)；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R；

Z，Q，R等数集内排除0的集，分别表示为Z*(或Z+)，Q*(或Q+)，R*(或R+).

注：教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意．

3

新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算

仍属于自然数，其中

．因此要注意几下几点：

注：

（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

（2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N+

、Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

例。教材练习

6.集合的分类

①有限集：含有限个元素的集合叫做有限集.例如：A＝｛1,2,3,4｝

②无限集：含有无限多个元素的集合叫做无限集.例如：集合N+

③空集：不含任何元素的集合称为空集.例如：集合方程x2+2x+3=0在实数范围内的解集.

不含任何元素的集合叫做空集，记作

．空集是个特殊的集合，除了它本身的实际意义外，在研究集合、集合的运算时，必须予以单独考虑．

请区分{0}，，{}

例1 下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来.

(1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；

(2)高一数学课本中所有的难题；

(3)方程x4+x2+2＝0的实数根；

(4)图甲中阴影部分的点(含边界上的点). 图甲 图乙

解：(1)是无限集合.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数. 可用两种方法表示这个集合：

描述法：｛(x,y)｜y＝｜｝；

图示法：如图乙中直线l上的点.

(2) 不是集合.难题的概念是模糊的不确定的，实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”.因而这些难题不能构成集合.

(3)是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x4+x2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为：

或者｛x∈R｜x4+x2+2=0｝.

(4)是无限集合.其中元素是点，这些点必须落在图甲的阴影部分(包括边界上的点). 图甲本身也可看成图示法表示，我们还可用描述表示这个集合；

｛(x,y)｜-1≤x≤2，- ≤y≤2，且xy≤0｝

例2 下面六种表示法：

(1)｛x＝-1，y=2｝，(2)｛(x,y)｜x=-1,y=2｝，(3)｛-1，2｝，(4)(-1，2)，(5)｛(-1，2)｝，(6)｛(x,y)｜x＝-1或y＝2｝，能正确表示方程组

的解集的是：

A. (1)(2)(3)(4)(5)(6) B.(1)(2)(4)(5)

C.(2)(5) D.(2)(5)(6)

分析

由于此方程组的解是

因而写成集合时，应表示成一对有序实数(-1，2).

解：因为｛(x,y)｜

＝｛(x,y)｜

＝｛(-1，2)｝故选C. 评析 集合(1)既非列举法，又非描述法. 集合

(3)表示由-1和2两个数组成的集合. (4)是一个点. (6)中的元素是(-1，y)或(x,2)，x,y∈R是一个无限集.以上均不合题意.

三、小

结：

本节课学习了以下内容：

1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）

2．集合的表示方法：（列举法、描述法、文氏图共3种）

3．常用数集的定义及记法

四、课后作业：教材P7习题1.1 五、板书设计：

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