阅读与思考 集合中元素的个数课堂实录及点评

一、教材分析： 本节内容是人教A版《普通高中标准实验教科书数学必修1》第一章的阅读与思考：集合中元素的个数。它是对第一章集合内容的加深和拓展。此节用实例让学生探索有限集的并集的元素的个数公式，并用Veen图来说明，起到帮助学生对课本知识点的再理解，进一步增强学生双基，完善学生的认知结构，形成完善的知识体系。是教学的重要补充。还可以帮助我们理解教材重点、突破教材难点。

二、教学目标：

1.

知识目标：了解有限集合中元素的个数如何表示；探求有限集合并集中元素的个数间的关系. 2.

能力目标：通过对有限集合并集中元素的个数间的关系的探究，能用已学的知识解决问题；培养学生的发散思维和创新思维能力。

3.

情感目标：通过实例探索，激发学生的学习热情与兴趣，体验探究的乐趣，培养严谨的科学态度与创新的科学精神。

三、教学重点与难点：

教学重点：有限集合中元素的个数间的关系及应用解题. 教学难点：有限集合中元素的个数间的关系的探究过程。

四、教学过程：

1.回顾复习，引出概念. 问题1：我们学习完集合后，知道集合分为哪几类？什么是有限集合? （学生自主回答。）

1

我们这节就来探究下有限集合的并集中元素的个数问题。

问题2：有限集合中元素的个数如何表示？

（引导学生阅读课本第13页，找出其如何表示：用card来表示有限集合元素的个数。如A={a,b,c},则card （A）=3.）

2. 有限集合的并集中元素的个数间的关系. (1) 两个有限集合的并集中元素个数问题. 实例问题：学校小卖部进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？

（让学生回答。）大家能否用集合的角度来解释下？

用集合A表示第一次进货的品种，用集合B表示第二次进货的品种，有：A={圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水} B={圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面} 故：card （A）=6, card （B）=4. 求两次一共进了几种货？就是求card （A∪B）。在这个例子中，两次进的货里有相同的品种，相同的品种数实际就是card （A∩B）. 那么card （A），card （B），card （A∪B），card （A∩B）之间有什么关系呢？

易得：card （A∪B）=8， card （A∩B）=2 故： card （A∪B）= card （A）+card （B）- card （A∩B）

问题3：当A∩B=Φ时，这个结论成立吗？

当A∩B=Φ时，第一次进货的品种与第二次进货的品种没有重复，即card （A∩B）=0。所以，

2

card （A∪B）= card （A）+card （B）。 成立。

问题4：能用Venn图解释吗?

（学生回答，教师引导。用Venn图更简单。）

结论1：对任意两个有限集合A、B,有: card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 问题5：用Venn图解释，还有

其它办法求得card(A∪B)？

（将每一部分的个数都算出来，然后加起来得card(A∪B)，为后面例子应用做好铺垫。）

例1 学校先举办了一次田径运动会,某班有8名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有12名同学参赛,两次运动会都参赛的有3人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛? 分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合, B为球类运动会参赛的学生的集合,那么A∩B就是两次运动会都参赛的学生的集合, card(A),card(B),card(A∩B)是已知的,于是可以根据上面的公式求出card(A∪B). 解：设A={x∣x是田径运动会参赛的学生}, B={x∣x是球类运动会参赛的学生}, 那么，A∩B={x∣x是两次运动会都参赛的学生}, A∪B={x∣x是所有参赛的学生} 因此，card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17. 答:两次运动会中,这个班共有17名同学参赛. Venn图表示：

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在图上相应与A∩B的区域里先填上3（这里的3是表示元素的个数）；再在A中不包括A∩B的区域里填上5；在B中不包括A∩B的区域里填上9.最后把这三部分中的数加起来得17，这就是card(A∪B)。

这种图解法对于解比较复杂的问题（如涉及三个以上集合的并、交的问题）更有优越性。

问题6：对于有限集合A，B,C，你能发现card(A∪B∪C)，card(A)，

card(B)，card(C)，card(A∩B)， card(B∩C)， card(A∩C)，card(A∩B∩C)之间的关系吗？

（2）三个集合的并集中元素的个数问题

为了便于说明问题,我们考虑A∩B≠Φ、C∩B≠Φ、A∩C≠Φ、A∩B∩C≠Φ的情况。如图：

我们把图中间四个区分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ并用a,b,c,d来分别表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ各区域构成的集合中元素的个数,card(A∪B∪C)与card(A)+card(B)+card(C)相比,相对card(A∪B∪C)来说card(A)+card(B)+card(C)的数目中多计了a,c,d一次,b两次,由此建立等量关系式: a=card(A∩B)-card(A∩B∩C), c=card(B∩C)-card(A∩B∩C),

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d=card(A∩C)-card(A∩B∩C) 故card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-a-c-d-2b =card(A)+card(B)+card(C) -[card(A∩B)-card(A∩B∩C)] -[card(B∩C)-card(A∩B∩C)] -[card(A∩C)-card(A∩B∩C)]-2card(A∩B∩C) 整理得, card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C),由此我们可得

结论2:对任意三个有限集合A,B,C,有

card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)- card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). （这里为了便于推出结论2，选取一般情形推导。对于特殊情况，安排成后面的拓展）

例2 某外国语培训学校共170名学生,有120人学英语,60人学俄语,80人学日语,50人既学英语又学日语,25人既学英语又学俄语,30人既学日语又学俄语,还有10人同时学习这三种外国语,请问:有多少学生没有学上述三门外语中的任何一种? 分析:本题是关于集合中元素个数公式的运用的题目,主要是考察学生对集合中元素个数的理解与两个集合与它们交,并这四个集合间的元素个数公式的运用.分别用集合A,B,C表示学英语、俄语

、

日语的人,则这里涉及到三个集合的元素个数,也可利用维恩图表示来求解. 解： 设A={x∣x是学英语的学生}; B={x∣x是学俄语的学生}; C={x∣x是学日语的学生}; A∪B∪C={x∣x是学英语，或学俄语或学日语的学生}; A∩B={x∣x是既学英语又学俄语的学生}; B∩C={x∣x是既学日语又学俄语的学生}; C∩A={x∣x是既学英语又学日语的学生}; A∩B∩C={x∣x是同时学习这三种外国语的学生}。

由题意：card A=120； card B=60； card C=80；

card(A∩B)=25; card(B∩C)=30; card(C∩A)=50; card(A∩B∩C)=10 由公式：card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)- card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)=

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120+60+80-25-50-30+10=165. 所以：没有学上述三门外语中的任何一种的人数为：170-165=5. 答：有5个学生没有学上述三门外语中的任何一种. Venn图法，黑板上演示。

我们发现图解法对于这题来说直观、易操作。

五、

课堂小结

1、有限集合中元素的个数如何表示；

2、有限集合中元素的个数间的关系；

3、运用有限集合中元素的个数间的关系解决实际问题的方法。

六、课外拓展：

1：对于结论2，当A∩B、A∩B、C∩B、A∩C、A∩B∩C中至少有一个为空集时，也成立吗？

2：对于结论2，你能推广到n(n≥4,n∈N

*)个有限集合的情况吗？

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