阅读与思考 对数的发明第二课时 公开课

对数的发明

【教学目标】

1. 知识与技能

（1）理解对数的定义: 这一符号的含义，字母

的取值范围；

（2）理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想；

（3）根据对数的定义，归纳总结出对数的3条性质和对数恒等式

；

（4）理解常用对数的概念；

2．过程与方法

通过与指数式的比较，引入对数的概念，进而研究它的性质。

3．情感、态度、价值观

通过对数式与指数式的转换，培养学生分析、归纳能力，在学习过程中培养学生的探究意识。

【教学重难点】

重点：对数的概念，对数式与指数式的互化

难点：对数的概念及性质的理解

【教学过程】

一．支架引导

1.锚式问题

由指数函数中的细胞分裂问题，引出细胞分裂第

次后，细胞的个数

；

如果知道细胞分裂若干次后的个数为

，如何求出分裂次数

；这就是已知底数和幂，要求指数的问题；

2.先行组织者：

类比、对比、归纳、总结

二．梯次探究

指导探究

链式问题1：对数的概念

如果a(a＞0且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

链式问题2：指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系？

式子

名称

指数式

底数

指数

N 幂值

对数式

底数

对数

真数

探究：

（1）在对数定义中，为什么也要限定a＞0且a≠1?

因为对数概念源出于指数，对数式logaN＝b是由指数式ab＝N转化而来，对数的底数就是指数的底数，而ab＝N中要使它对任意实数b都有意义，必须a＞0且a≠1，所以对数式中也必须要求a＞0且a≠1．

（2）1的对数等于多少，logaa ( a＞0且a≠1 )的对数等于多少，零和负数有没有对数？

当a＞0且a≠1时，a0＝1，即a的零次幂为1，所以0就是以a为底1的对数；a1＝a，即a的1次幂为a，所以1就是以a为底a的对数；在ab＝N中，对任意实数b，都有ab＞0，即N＞0，所以不存在实数b，使ab≤0，即零和负数是没有对数的．

链式问题3：

对数的性质

若a＞0且a≠1

（1）loga1=0；

（2）logaa=1；

（3）零和负数没有对数，即真数N＞0；

（4）对数恒等式

，logaaN=N。

链式问题4：

常用对数和自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N可简记为lgN；

以e为底的对数叫做自然对数，

logeN简记为lnN．

三．应用质疑

1. 典例分析

例1.将下列指数式写成对数式：

（1）54=625; （2）3-3=1/27； （3）84/3=16； （4）5a =15. 例2.将下列对数式写成指数式：

（1） log1/216= —4；（2）log3243=5; （3）log327=3; （4）lg0.1=—1. 例3.求下列各式的值：

（1） log525；（2）log1/232; （3）3log310; （4）ln1；（5）log77. 2. 练习

练习1~3 3. 作业

习题3—4，A组每1，2题

四．课外延伸

对数的发明者：布尔基与耐普尔

数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（John

Naeipr，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Jobst Bürgi，1552－1632）．

布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数．恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价．