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对数的发明

河北承德第一中学

黄淑侠

一对数发明的背景

16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言。

德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即

sin α·sinβ=[cos(α-β) －cos(α+β)]/2 ,

cos α·cosβ=[cos(α-β) ＋cos(α+β)]/2 .

大大简化了三角函数连乘的计算。比如，计算sin67°34' ×sin9°3' ，可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'=0.15729632。但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。（请你不用计算器，手算一0.92432418×0.15729632=？，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式，计算就大大简便了：

sin67°34' ×sin9°3' ＝cos(67°34'-9°3') －cos(67°34'+9°3') ＝[cos(58°31') －cos(76°37')]/2 ＝[0.52225052-0.23146492]/2 ＝0.14539280 这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算，方法如下：若求小于1的二个数a 与b 的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a ,sin β=b的α与β, 然后计算(α-β) 和(α+β) ，再由三角函数表查得cos(α-β) 与cos(α+β) , 最后应用上面的公式求出它们的一半, 就得所要求的数。由于大n 于1的数可用小于1的数乘上10 表示, 因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。

但这样做同样太繁杂了, 况且还不能直接应用于除法、乘方和开方，因此, 寻找更好的计算迫在眉睫。

二对数产生的前奏

请你观察下面两个数列, 并找出规律: 1, 2, 4, 8,16,32,64,128,256,512,1024,2048, 4096，8192，16384⋯⋯

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12，

13，

14⋯⋯

德国数学家Stifel (1487～1567) 在观察上述两个数列时, 称上排的数为

“原数”, 下排的数为“代表数” (德文Exponent) , Stifel 发现, 上一排数之间的乘、除运算结果与下一排数之间的加、减运算结果有一种对应关系。Stifel 指出：“欲求上边任两数的积（商），只要先求出其下边代表数的和（差），然后再把这个和（差）对向上边的一个原数，则此原数即为所求之积（商）。”比如，计算16×1024，只要计算16的“代表数” 4、1024的“代表数” 10之和4+10=14，再查出与“代表数” 14相对应的“原数” 16384，就得到16×1024的乘积。实际上, Stifel已经掌握了对数运算法则，因为Stifel 所谓的“代表数”, 本质上是“原数”以2为底的对数。

三对数的发明

对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，1550～1617) 提出的。那时候天文学是热门学科。可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。Napier 也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼„„诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方„„因此我开始考虑„„怎样才能排除这些障碍。”经20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"），中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(NaplogX)。这让他在数学史上被重重地记上一笔。1616年Briggs(亨利·布里格斯，1561–1630) 去拜访Napier ，建议将对数改良一下以10为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜Napier 隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs 以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，他于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对数表的方法，1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数。

对数表这一惊人发明很快传遍了欧洲大陆。开普勒利用对数表简化了行星轨道的复杂计算。伽利略发出了豪言壮语：“给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来。”数学家拉普拉斯说：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”。对数表曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家和科学家广泛使用。今天，随着计算机的迅猛发展，对数表、计算尺就像过时的法律一样被废弃了，但对数与指数本身已成为数学的精髓部分，也是每一个中学生必学的内容。

最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的。当时在log 2=0.3010

中，2叫做“真数”，0.3010叫做“假数”，真数与假数对列成表，故称对数表。后来

“真数”改称为“底数”，

“假数”改称为“对数”。

当今中学数学教科书是先讲“指数”，后以反函数形式引出“对数”的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。Briggs 曾向Napier 提出用幂指数表示对数的建议。

最早使用指数符号的是法国数学家Descartes (笛卡尔，1596～1650) ，他n 于1637年用符号a 表示正整数幂。分数指数幂在17世纪初开始出现，最早使用分数指数记号的是荷兰工程师Stevin ，以后又有人将其扩展到负指数，直到X 18世纪初英国数学家Newton(牛顿，1642～1727) 开始使用a 表示任意实数指数幂．这样，指数概念才由最初的正整数指数逐步扩展到实数指数．

一直到18世纪，瑞士数学家Euler (欧拉，1707～1783) 才发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们接受．

四Napier（纳皮尔）

发明对数的思想方法

假设有两个质点P 和Q 分别沿着线

段AB 和射线CD, 以同样的初速运动, 其

中质点Q 沿直线CD 匀速运动, 而质点P 在线段AB 上任何一点的速度等于它到

端点B 的距离。Napier 定义CQ 为PB 的

对数。也就是说，设X=CQ为Y=PB,则X ＝NaplogY （Naplog 是纳皮尔对数的符号）。

当P 和Q 从A 和C 出发时，其初速度的数值等于线段AB 的长度(设为Y 0) ，此后在相等时间间隔情况下，时刻t 1,t 2,t 3,t 4⋯时, Q 位于C 1,C 2,C 3,C 4⋯，P 位于A 1,A 2,A 3,A 4⋯。由于Q 沿CD 做匀速运动，C,C 1,C 2,C 3,C 4是等距的，与端点C 的距离形成等差数列（0,Y 0△t,2Y 0△t,3Y 0△t,4Y 0△t, ⋯），而A,A 1,A 2,A 3,A 4, ⋯与端点2B 的距离形成等比数列（Y 0,Y 0(2-△t )/(2+△t ) ,Y 0[(2-△t )/(2+△t )],Y 0[(2-△t )/(2+△34t )],Y 0[(2-△t )/(2+△t )], ⋯）。X 与Y 的关系：Y ＝Y 0[(2-△t )/(2+△t ) 则可得到Y ＝Y 0（1/e ）X/Y0 1/(Y0△t) X ]。

1/△t 根据微积分理论，△t →0时，(2-△t )/(2+△t ) ＝1/e, Napier 认为，质点运动的时间间隔△t 应尽量小，他选择了(2-△t)/(2+△t) -77＝1-10＝0.9999999，相应△t ＝2/(2×10-1) ），为了避免小数的麻烦, 他又规定

Y 0＝10, 于是得到纳皮尔对数X ＝Nap ㏒Y ＝107㏑(107/Y) Napier 的核心思想是从等差数列与等比数列的关系中定义对数, Napier没有底的概念。他从连续的几何量出发，定义的对数是连续的. 由数列定对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(J?Napier,1550～1617)男爵

五

纳皮尔的故事

在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的

热门学科可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些

繁杂的“天文数学”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间

纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，

终于独立发明了对数然而，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不

完全一样在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数

课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的

那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢?在那个时代，计算多位数之间

的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法

让我们来看看下面这个例子：

(1)0，

1，

2，

3，

4，

5，

6，

7，

8，

9，

10，

11，

12，

13，

14，…

(2)1，2，4，8，16，32，64，126，256，512，1024，2048，4096，8192，16384，…

这两行数字之间的关系是极为明确的：第(1)行表示2的指数，第(2)行表示2的对应幂如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，

256对应8；然后再把第一行中的对应数字加起来：6＋8=14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256=16384 纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了在“运用对数简化计算”的时候，采用的正是这种思路：计算两个复杂的乘积，先查《常用对数表》，

找到这两个复杂数的常用对数，把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》

查出和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了这种“化乘除为加减”从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗? 经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点

所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”

1614年，英国数学家纳皮尔（J. Napier, 1550～1617）出版《奇妙的对数表》一书。在前言里，纳皮尔告诉我们他发明对数的动机：

“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了。这不仅浪费时间，而且容易出错。因此，我开始考虑怎样消除这些障碍。经过长期的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则……”

对数发明后，人们（特别是天文学家）的计算量大大减少。200年后，法国著名数学家拉普拉斯（P. -S. Laplace, 1749～1827）评价说，由于对数的发现，“天文学家的寿命增加了一倍。”

1614年，英国数学家、伦敦格雷沙姆（Gresham）学院首任几何学教授布里格斯（H. Briggs,）

1561～1630）阅读了纳皮尔的《奇妙的对数表》。此前，布里格斯正从事天文学研究，繁重

的天文计算正是他试图克服的困难。因此，纳皮尔的对数著作深深地吸引了他。在翌年3月10日写给朋友詹姆斯?乌歇尔（James Ussher）的信中，布里格斯这样写道：

“Markinston的纳皮尔爵士出版了一部著作，包含了他新发明的奇妙对数。我希望今夏与他见面，因为我从未见到过一本能让我如此快乐，令我如此惊奇的书。”

布里格斯从伦敦到爱丁堡去见纳皮尔是1615年夏天的事。那时，从伦敦到爱丁堡，乘坐

马车至少需要4天，不象今天，坐火车只需4小时。当时的旅途也比我们想象得要困难得多：

布里格斯没能在约定时间赶到爱丁堡。一天，纳皮尔在自己家中与朋友马尔（John Marr）谈起布里格斯：“哦！约翰，”纳皮尔说，“布里格斯今天不会来了。”话音刚落，有人敲门。马尔急忙下楼开门，使他高兴的是，来人正是布里格斯。他把客人带到爵士的房间里。纳皮尔与布里格斯互相仰慕地打量了几乎一刻钟，双方不发一言。最后，布里格斯开了口：“我的爵士先生，这次远道而来，是专程拜望您的，并想向您了解您一开始是如何想到对数这一精彩的天文学辅助工具的。在您作出这一发现之前，没有其他人发现过，而现在人们知道它是如此容易。”

爱丁堡会面后，纳皮尔和布里格斯共同商定以10为对数的底，且以0作为1的对数。1617年，布里格斯出版了前1000个正整数的14位常用对数表。1624年，又出版从1到20,000以及从90,000到100,000的14位常用对数表。原来对数如此有用，对数的发明原来如此激动人心！在历史的解说中，对数早已不再是枯燥无味的概念。

六

对数在我国古代的传播

17世纪，对数通过西方传教士传入中国，我国薛凤祚（1599-1680）与波兰传教士合编的《比例与对数表》是传入我国最早的对数著作。当时，在运算中，“2”叫做真数，0.3010叫做假数，真数与假数对应成表，因此叫做对数表，后又改假数成对数。

清代一些数学家对对数的研究也很有成果，例如戴煦（1599-1860）就发现了许多种求对数的简便算法，英国数学家艾约瑟在看到戴煦的著作后，专程前往杭州拜访，但这时正是英国殖民者在中国发动鸦片战争不久，戴煦以中外殊俗异礼拒绝接见。艾约瑟虽然很失望，但仍然在西方推崇戴煦，并将他的《求表捷术》翻译成英文寄回英国。