线段垂直平分线教案2

湖塘实验中学2018~2019学年第一学期九年级数学学科教学案

线段和差最值问题

编写：刘春花 时间：2018.12 班级 姓名 一、自主研读初步学

（一）方法指导：最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题: 1.几何图形：

①平面内，两点之间线段线段最短.②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短. ③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 2.不等式: ①如x≤7，最大值是7；②如x≥5，最小值是5. 3.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值. 设计意图：归纳初中阶段最值的相关知识点，使学生建立解决最值问题的知识体系.

中考压轴题中有一类热门问题——最值问题，这些题目虽形式各异，但万变不离其宗，下面我们就专门研究几何中，利用三角形三边关系解决线段和差的最值问题. 一、线段和的最小值问题——“将军饮马”模型

l上找一点P，使得PA+PB最小. 已知：在 l同侧有A、B两点，在直线

分析:这是两线段和的最小值问题，

首先借助轴对称性质，将

l同侧的一个定点转移到另一侧，再利用“两点之间线段最短”找到C点.最后在 l上任取一点C，利用“三角形三边关系——两边之和大于第三边”说明P就是使得PA+PB最小的位置. 尝试验证：请你在上图中画出图形，并说明PA+PB最小.(写在图右边空白处) 二、线段差的最大值问题

/l同侧有A、B两点，在直线 PAPB最大. 1.已知：在 l上找一点P，使得

分析：这是两线段差的最大值问题，首先连接BA，BA的延长线交直线 于点P，此时PB-PA最大.其ll

1 老师教的东西是老师的，只有自己不断消化，才能变为自己的。

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次，在 上任取另一点P，利用“三角形三边关系——两边之差小于第三边”说明P就是使得PB-PA最大的位置. ，在△ABP'中，ABP'BP'A又当P、A、B三点在同一直线上时，AB=PBPA

P即为使PB-PA最大的位置l异侧有A、B两点，在直线 PAPB最大. 2.已知：在 l上找一点P，使得 理由：

分析：首先这是线段差最大的问题，上一题两点在直线同侧时可以找到点p，那么可以利用轴对称的知识把异侧的问题转化成同侧的问题. 尝试解决：请在上图中找出点P，保留作图过程. 设计意图：利用“平面内，两点之间线段线段最短”和“三角形的三边关系”两大知识块，建立“线段和的最小值”和“线段差的最大值”的模型，从而使学生今后在复杂背景中遇到线段和差的最值问题时，能够发现问题本质，建立出基本模型，形成解决一类最值问题的策略. （二）自主检查

1.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 ．

2．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．

3．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为 ．

第1题

第2题

第3题

4.

(2017枣庄) 如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为 .

第4题

第5题

2 第6题

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5. (2017营口)如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为 . 6.如图，已知边长为6cm的菱形ABCD，E在AB上，且DE=为 . 7.（2010•北京校级自主招生）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣，点P在直线BD上，则PC﹣PE的最大值x2+x+3．与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），P是抛物线的对称轴上动点，线段PA与PE之差的最大值为 . 设计意图：在不同的背景下研究线段和差的最值问题，发现本质，感受共性，利用线段和差最值模型解决问题.通过练习形成解决一类最值问题的基本策略，形成一定的解决最值问题的能力.提升学习品质的同时，增强学生学习的信心. 学生活动：通过自主研读初步学习，建立解决最值问题的知识体系，初步形成解决线段和差问题的策略，并通过练习检测自主学习的情况，能够对自我的自主学习情况进行评价，知困惑，明收获. 教师活动：根据对学情的掌握和对学生后续学习的预期，设计线段和差的最值问题；通过备课、预测及作业的批改修订备课情况，根据学生的实际制定处理课前学生的自学情况的教学策略. 二、合作探究深化学

(一)检查与建构

1.交流自主学习中存在的问题或困惑

2. 点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PAPB的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则OPOQ＝

．

设计意图：检测学生对线段和差的两个最值模型的理解及掌握情况.并通过检测进一步明确本节课的建构.

学生活动：完成检测，对自学情况再次自我检测，自我反思.

教师活动：根据学生的检测情况，了解学生对线段和差最值问题模型的掌握情况，从而建构本节课知识体系.

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(二)深度探究

问题：(2010年天津)在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA3，OB4，D为边OB的中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

变式：连接OC，P、Q分别为对角线OC，AC上的两个上的两个动点，求PQ+PA的最小值.

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

y B D C

O A x 设计意图：本题（1）求三角形周长最小，这是求两线段和的最小值的简单变式问题，考查学生对“将军饮马”问题本质的把握情况；变式是相对（1）有两个动点的线段和最小值问题，而（2）是对两线段和问题的变式，形式复杂，问题难度升级，但是主要还是锻炼学生从复杂背景下获取问题本质的能力. 学生活动：①独立思考，尝试解决问题. ②小组交流：组内交流变式中的问题和四边形周长最小值问题，这两小题你们分别是怎么思考的？有困惑的同学先说困惑，有想法的同学再说自己是怎样思考的. ③这两题题与前面问题的区别是什么？关联又是什么？怎样转化的? 教师活动：针对学生的思维阻碍点进行疏通、引导.由于CD是定边，就可以转化为两条线段和最小的将军饮马问题了；变式中有两个动点，一个定点，此时哪个动点所在直线是轴就是转化的关键，一般两条线段公共的顶点所在直线看成是对称轴，转移定点到异侧，利用“垂线段最短”解决问题；而问题（2）要使四边形CDEF的周长最小，注意到DC、EF的长为定值，故只需DE+CF最小，用轴对称及平移方法设法将DE、CF集中到一条直线上解决问题.归纳：两个定点一个动点时，求线段和最小值问题，是“将军饮马”的原始模型，而两个动点一个定点的问题，还是假设其中一个动点是定点，即转化为“将军饮马”的模型.

思考题：把Rt△ABC如图放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC=90°，若点A的坐标为（0，4），AO=2OB，且∠OAB=∠BAC．

（1）求过点A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长；

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设计意图：本题考查了最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．随着学习的深入，学生的能力层次逐渐加大，除了关注基础薄弱学生，更要关注优生的提优工作，这一工作要落实在平时，因此这一题是部分同学的提优题.不断激励学生向着更好更优发展自我！

（三）当堂检测

1.

如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AB=5，D是AC的中点，P是AB上一动点，则CP+PD的最小值为 . 2.

（2018•九龙坡区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），E（2，﹣FP|的值最大，求|FE﹣FP|的最大值；

），P（0，），在抛物线的对称轴上找一点F，使|FE3.

（2017•泰安）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为 ．

第1题

第2题

第3题

设计意图：检测学生本节课线段和差最值的掌握情况，以便后续学习的补充和改善. 5

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