11.1 反比例函数国家获奖教案

11.1 反比例函数

教材分析：

本课选自《义务教育教科书·数学八(下)(苏科版)第11章“反比例函数”第1节“反比例函数”的内容。从现实生活中大量的反比例关系中抽象出反比例函数的概念，让学生感受反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种有效的数学模型，逐步从对具体的反比例函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。本节课为后继学习二次函数打下基础，是高中阶段学习其他函数的必要准备。

学情分析：

在前面的学习过程中，学生对函数的概念，函数所反映的是两个变量之间的关系的内涵有了一定的了解，在已经学习了正比例函数、一次函数后，又一次学习函数，根据变量间的不同变化情况让学生们认识到了另一种函数——反比例函数.八年级学生已经具备了思维的完备性、深刻性、实践性、批判性等思维品质，但尚待提高，学生抽象概括能力也有限，对函数的意义的理解、数量变化规律的把握还有一定的难度，特别是对抽象的表达式中的变量的取值理解不深。

设计思路：

创设情境、领悟新知——自主探究、内化新知——应用新知，达成目标——畅谈收获，放飞希望——拓展应用、升华新知

教学目标：

1、从具体情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，加深对函数概念的理解。

2、经历抽象反比例函数概念的过程，领悟反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，在经历反比例函数的建模过程中，培养学生抽象思维能力。

3、利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，让学生感受数学有用，从而培养学生学数学兴趣。

4、通过本课学习培养学生既独立思考又合作交流的良好学习习惯。

教学重点：

建立与领悟反比例函数的概念。

教学难点：

1

理解反比例函数的概念及三种形式

教学方法：

本节课采用探索式教学法，引导学生通过独立思考、自主探索、合作交流等活动方式亲历知识的发生、发展过程，学会获取新知识的方法，有利于实现教学目标。

教学手段：

利用多媒体辅助教学，增强直观性，提高学习效率和质量，激发学习兴趣，调动积极性．

教学过程：

一、创设情境，提出问题

生活中，存在着许多变化的量，比如：在乘坐火车时，你就能观察到许多变化的量．

问题一

一辆列车从南京出发开往上海，以速度v（km/h）行驶，行驶时间为（th），行驶路程为s（km）．

（1）若速度v＝160（km/h），行驶路程s（km）与行驶时间为t（h）之间的关系式为 s＝160t ．

在这一变化过程中有哪些是常量？哪些是变量？变量之间有怎样的关系？

（2）若列车已经行驶了80km，继续以v＝150（km/h）的速度行驶t（h），行驶总路程s（km）与时间t（h）之间的关系式为

s＝150t＋80

．

（3）若南京到上海总路程约301km，行驶速度v与行驶（th）的关系式为vt＝301 ．

我们利用数学表达式描述了这三个生活中的例子，同学们观察这三个表达式，这里有你熟悉的函数吗？

（4）给定变量t的值，变量v都有唯一确定的值与它对应吗？

（5）速度v是时间t的函数吗？你是如何判断的？ 这是个什么函数呢？其实，在我们的生活中还存在着许多类似的函数，我们一起来看一看？

问题二

用函数表达式表示下列问题中变量之间的关系：

（1）计划修建一条长为 500 km 的高速公路，完成该项目的天数

y

(天) 随日完成量

x

(km) 的变化而变化；

（2）一家银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额

y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；

2

（3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间a（h）随注水速度b（m3/h）的变化而变化；

（4）实数m与n的积为－200，m 随n的变化而变化．

二、合作交流，探究概念

1．观察交流，生成概念．

请同学们观察黑板上这些表达式，它们是一次函数吗？是正比例函数吗？它们有哪些共同的特点呢？

你能类比一次函数的定义，给反比例函数下个定义吗？

反比例函数：一般地，形如y＝中x是自变量，y 是x的函数．

2．合作交流，剖析概念．

思考以下几个问题．

（1）定义中k为常数，是指k可以取哪些类型的数（可举例说明）？ （2）自变量、函数值有取值范围吗？如果有，说出取值范围．

（3）下列关系式中的

y

是

x

的反比例函数吗？

(1)y4x(2)yx(5)y212x(3)y1xk（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，其x

(6)y3x1(4)xy1三、联系生活、应用概念

1．联系生活，应用概念．

反比例函数是刻画现实世界的一种有效模型，在数学问题的研究中有着广泛的应用，比如：

例

（1）面积是50cm2的矩形，一边长y（cm）随另一边长x（cm）的变化而变

化．

（2）体积是100 cm3的圆锥，高h（cm）随底面面积s（cm2）的变化而变化．

（3）江苏省的总面积为1.026×105平方千米，人均占有土地面积s（平方千米/人）随全省总人口n（人）的变化而变化．

（4）妈妈买菜已经用了25（元），还想买5元/斤的鱼a斤，则总的花费y（元）随着所购买的斤数a（斤）的变化而变化．

3

2．欣赏图片，感受生活中的数学。

温馨的房间需要铺设地板砖来装饰，房间的面积不变，选用地面砖的块数y是一块地面砖的面积s的反比例函数． 四、探究提升

（Ⅰ）

1ym3x1、若函数

是反比例函数，则m m7y3x2、若函数

是正比例函数，则m=

若是反比例函数，则m=

3、若函数ym1x（Ⅱ）

1、已知（m为常数）

m22

是反比例函数，则m=

（1）若它是正比例函数，求m的值；

（2）若它是反比例函数，求m的值。

2、已知y是x的反比例函数，当x=5时，y=2

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当x=-4时，y的值是多少？

五、小结回顾，快乐提升

1．本节课学习了哪些知识？

2．运用了哪些思想方法？

3．解决了哪些问题？

六、类比迁移，整体把握

本节课我们一起了解了反比例函数的概念，当然我们对反比例函数的研究才刚刚开始，本章将对《反比例函数》进行系统的研究，那么本章将研究反比例函数的哪些内容

4

呢？不妨作一次思考和展望：八年级上学期我们研究过一次函数是从哪几个方面进行研究的？我们一起来梳理一下：

一次函数的概念——一次函数的图像与性质——一次函数的应用——一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的联系．

类比：类比一次函数的研究我们也将从以下几个方面对反比例函数进行研究．

反比例函数的概念——反比例函数的图像与性质——反比例函数的应用

——反比例函数与一次函数、分式方程的联系．

我们还可以做一个大胆的猜想：以后研究函数基本从哪几方面去研究？

函数概念——函数图像与性质——函数的应用——函数与函数、方程的联系．

同学们，结合刚才的知识结构图，你认为下节课将研究反比例函数的什么知识呢？

生：反比例函数的图像．

我们一起期待下节课反比例函数图像的探索．

七、作业布置

课本126页习题1、2题．

八、板书设计

反比例函数

一般地，形如y＝k（k为常x例1：

（1）根据题意，得xy＝50，即y50，y是x的反比例函数；

x1（2）根据题意，得sh＝100，即3300h＝，h是s的反比例函数；

s数，k≠0）的函数．其中

x

是自变量，y

是

x

的函数，k是比例系数．

注：1．k≠0，x≠0，y≠0；

2．常见形式：xy＝k(k≠0)和y＝kx－1(k≠0)．

＝（3）学生板演；

（4）学生板演．

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