3.4.1 函数与方程主要内容及教案内容

《二分法求方程的近似解》教学设计

沈

军

一、教材分析

（1）教材的地位和作用

零点问题，即方程根的问题，是不等关系的基础。用二分法求方程的近似解是新课程中新增的内容。为了帮助学生认识函数与方程的关系，按照对新事物的认知规律，教材分四个步骤进行：

本节课讨论的是零点怎么求。

本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法和逼近等数学思想。

（2）

教学重难点：

重点：理解用二分法逼近方程根的过程。

难点：理解精确度的作用，归纳二分法的一般步骤。

零点是什么？

零点有没有？

零点有几个？

零点怎么求？

二、学情分析

教学对象的认知基础

1、学生已经学习了函数零点定理，理解函数零点和方程根的关系，初步掌握了函数与方程的转化思想；

2、学生比较熟悉二次方程的根，但对于高次方程和超越方程根的寻求有困难；

3、模式化求近似解对学生来说是一个全新的问题。

三、过程分析

教学流程设计如下：

引入课题

数学史引问题，游戏引方法

构建模型

按照游戏中的思想从表格图象两方面入手构建模型

分析归纳

归纳二分法的定义及步骤

应用巩固

通过练习巩固二分法的使用

（1）引入课题

1、数学史引问题

中外历史上的方程求解：

国内：

公元50~100年

《九章算术》

解一次、二次、正系数三次方程的算法形式

7世纪

王孝通

三次方程正根的数值解法

13世纪

秦九韶

用算筹布列解任意数字方程

国外：

9世纪

花拉子米

一次、二次方程的一般解法

1541年

塔尔塔利亚

三次方程的一般解法

1545年

卡尔达诺

四次方程的一般解法

1778年

拉格朗日

提出五次方程根式解不存在的猜想

1824年

阿贝尔

证明五次以上一般方程没有根式解

所以，对于高次方程及其它的一些非常规方程，有必要寻求其近似解。

【设计意图】通过介绍方程求解的发展史，让学生了解有些非常规方程是很难求根的，从而引出问题：怎么求这类方程的近似解？

2、游戏引方法

【教师活动】给出某明星近期出席活动的照片，通过观察这张照片，可初步断定她的年龄是介于20岁到60岁之间，如何既快又准地猜出她的年龄？猜测允许的误差是小于5岁。

【学生活动】以小组为单位讨论，然后向全班展示猜测方案。

通过讨论和比较这些方案，我们确定出如下的最优方案：

猜：40岁

低了

年龄范围缩短为40岁~60岁

猜：50岁

低了

年龄范围缩短到50岁~60岁

猜：55岁。

她的实际年龄是58岁，相差不到5岁，所以猜中了！

通过不断的将年龄范围一分为二，使所猜年龄逐步逼近实际年龄，这就是二分法思想。

游戏与求函数零点有什么联系？可将实际年龄对应到零点，年龄高低的判断对应到零点存在定理，允许误差对应到精确度。

【设计意图】通过游戏激发学生的思维，并将其与数学问题对应，从而引出解决问题的方法：二分法。

（2）构建模型

例：求函数f(x)lnx2x6

零点的近似值，精确度为0.1.

解释精确度：若区间(a,b)满足精确度，那么零点x0(a,b)且ab

【学生活动】两人一组，一人拿计算器，一人记录过程，共同完成下面表格。接着让学生展示计算结果并解释过程。

(a b) f(a)的近似值

2

3

f(b)的近似值

mab

2f(m)的近似值

|a-b| 是否达到精确度

【教师活动】对学生回答进行总结：零点所在的初始区间为(2 , 3)，此时区间长度为1，没有达到精确度，所以取区间(2 , 3)的中点2.5。

因为f(2.5)<0，所以用2.5替换区间左端点2，由于f(2.5)、f(3)异号，

所以零点区间缩短为(2.5 , 3)。此时区间长度为0.5，仍没有达到精确度，所以继续取区间中点。依此类推，重复上面步骤，直到区间长度小于0.1，达到精确度，才停止运算。最终得到当精确度为0.1时，零点所在区间为[2.5,2.5625]。这个区间中的任意值都可作为函数f(x)零点的近似值，但我们一般取区间端点。

【设计意图】学生小组通过采用游戏中的二分法思想完成表格的活动，更深一步体会了二分法的运用过程；教师通过展示，让学生清晰零点区间如何缩小从而逐步逼近零点的过程，以及精确度作为判断终止条件的作用。从而让学生掌握重点，攻破难点。

【教师活动】用几何画板作图来向学生演示零点区间逐步逼近零点的过程。

【设计意图】用几何画板作图，让学生对二分法的过程形成比较直观的印象，从而更好的理解二分法。

（3）分析归纳

对于一般函数，是否也可以用上述方法去寻求它的零点呢？给出四个函数图象：

y

y

y

y

x

x

x

x

A

B

C

D

【学生活动】通过观察，发现图象B不能用二分法思想解决。

所以二分法思想只能用来解决在零点附近连续且“穿轴”的零点问题。

二分法的定义：对于在区间[a , b]上连续且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

【设计意图】引导学生将上述例子推广到一般的函数，并注意推广的条件，归纳出二分法的定义，体会从特殊到一般的思想。

【学生活动】分小组讨论，从文字、符号、框图三个角度，概括二分法解决一般函数零点问题的步骤。

【设计意图】通过一步步完善学生的归纳，最后总结出二分法求函数零点的步骤，使学生加深了对二分法过程的理解，有助于突破难点。

（4）应用巩固

练习：求方程23x7的近似解。（精确度为0.1）

作业：必做题

课本第92页练习第3、5题

选做题

课本第93页习题B组第3题

课外实践

课本第93页信息技术应用

【设计意图】让学生通过练习熟悉用二分法求方程近似解的步骤，并通过分层作业既使学生掌握了基础知识，又使学有余力的学生有所提高，做到了既面向全体学生，又注重个人差异。

x四、评价分析

本节课设计的亮点主要有三个：

（1）创新引入：通过数学史引问题，游戏引方法，极大地调动了学生的兴趣，引起他们对本节课主要问题和主要思维方式的关注；

（2）图表结合：用表格和图象直观形象地向学生诠释逼近过程，突破重难点，并充分的利用了多媒体和信息技术；

（3）主体突现：多个环节设计了学生活动，学生的主体地位得到凸显。

（4）本节课的教学中，究竟是用“开门见山”式的“课题先行”的方式，还是“曲径通幽”式的“问题先行”的方式都有自身的特点，如何将有意义的发现式学习与有意义的接受式学习有机地结合起来是需要研究和努力追求的一个方向

（5）如何在教学中将数学教学与信息技术紧密结合，何时用，怎么用？

（4）这节课的目标设置、教学实施体现了新课程的理念：倡导自主探索、动手实践、合作交流的学习方式。开始通过认知冲突，激发学生学习的主动性，然后通过自主学习初步认识“二分法”，师生交流加深学生对数形结合、二分逼近思想的理解；继而引入实际范例让他们在玩的过程中来体验二分法的思想和作用。再通过师生共同列举二分法在实际生活中的应用，进一步加深学生对二分法这一思想的体验，最后通过合作完成上课初提出的超越方程的近似解问题。