2.2.2 函数的奇偶性教学设计及课堂实录

2.2.2 函数的奇偶性

课标知识与能力目标

1. 学会如何判断函数的奇偶性

2. 运用函数的奇偶性解决问题

知识点1：函数的奇偶性

1.概念：

(1)偶函数

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．

(2)奇函数

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．

(3)奇、偶函数的图象性质

偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称. 2.判断函数奇偶性的步骤：

考点1：函数的奇偶性的判定

例1 判断函数奇偶性：

（1）fxx22x；

（2）fx1x2x21；

（3）fxxaxaaR

1x2（4）fx

x22x2x（5）fx2xx

考点2：奇偶函数的图象及应用

1例1 已知函数f(x)＝2在区间[0，＋∞)上的图象如图2－2－4所示，请据此在该坐标系x＋1中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．

x0

x0

图2－2－4 例2 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图2－2－5所示，则不等式f(x)<0的解集是________．

图2－2－5

考点3：利用函数的奇偶性求解析式

例1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．

考点4：函数的奇偶性的应用

例1 已知f(x)是R上的偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，若有f(－2a＋3)>f(2a－1)成立，求实数a的取值范围．

5px22例2 已知fx是奇函数，且f2。

33xq（1）求实数p,q的值；

（2）判断函数fx在,1上的单调性，并加以证明。

例3 已知函数fxm21x2m1xn2，则当m,n为何值时，f(x)是奇函数？

例4 函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．

例5 已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)．

(1)求f(0)，f(1)的值；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论．

拓展提优



1 解题技巧方法：

(1)解决函数问题重点是挖掘出函数性质，利用性质解题，特别是奇偶性和单调性．

(2)研究单调区间问题时一定要注意在函数的定义域内进行．

(3)研究函数最值问题时，要注意函数的定义域，特别是分段函数，要分别求出最值再比较．

(4)对复杂函数的对称性应注意利用最根本的定义解决，奇偶性只是对称性中最特殊的一种．

(5)对于形如：∀x1，x2∈[1，m]，恒有|H(x1)－H(x2)|<1的问题，要注意转化成最值问题处理．同时在利用导数的正负探究函数的单调性时，为判断导函数的正负，有时还需要设计成研究导函数的最值问题．

题型1：函数的单调性和奇偶性

a例1 已知函数f(x)＝x2＋x(x≠0，常数a∈R)．

(1)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若f(x)在x∈[2，＋∞)上为单调增函数，求a的取值范围．

a例2 已知函数f(x)＝x＋x(a>0)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；

(2)若a＝4，证明：函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数．

题型2：函数的图象及应用

例1 设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．

(1)证明：f(x)是偶函数；

(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；

(3)求函数的值域．

例2 求出关于x的方程|x2＋2x－3|＝a的实根的个数．

题型3：函数与方程思想

例1 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b是常数且a≠0)满足条件：f(2)＝0且方程f(x)＝x有两相等实根．

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在实数m，n(m

1例2 已知函数f(x)＝a－. |x|(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若函数y＝f(x)在[m，n]上的值域是[m，n](m≠n)，求实数a的取值范围．

mx2＋25例3 已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.求实数m和n的值．

33x＋n

例4 函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[－b，－a]，那么y＝f(x)叫做对称函数，现有f(x)＝2－x－k是对称函数，求k

的取值范围．

题型4：函数中的存在问题

例1 已知函数f(x)＝|x－m|和函数g(x)＝x|x－m|＋m2－7m. (1)若方程f(x)＝|m|在[-4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m的取值范围；

(2)若对任意x1∈(－∞，4]，均存在x2∈[3，＋∞)，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数m的取值范围．

2x＋bx＋c，

x≤0，例2 设函数f(x)＝其中b>0，c∈R.当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最2， x>0，

小值－2. (1)求函数f(x)的表达式；

(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．

题型5：创新题

2(1－x)，0≤x≤1，例1 设n为正整数，

规定：fn(x)＝f{f[…f(x)]n个}f，已知f(x)＝

x－1，

1＜x≤2.

(1)解不等式f(x)≤x；

(2)设集合A＝{0,1,2}，对任意x∈A，证明：f3(x)＝x；

8(3)探求f2 0129；

(4)若集合B＝{x|f12(x)＝x，x∈[0,2]}，证明：B中至少包含有8个元素．

例2 对于定义在D上的函数y＝f(x)，若同时满足

(1)存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f(x1)＝c(c是常数)；

(2)对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f(x2)>c.称f(x)为“平底型”函数．

判断f1(x)＝|x－1|＋|x－2|，f2(x)＝x＋|x－2|是否是“平底型”函数？简要说明理由．

例3 对于函数f(x)，若存在实数对(a，b)，使得等式f(a＋x)·f(a－x)＝b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f(x)是“(a，b)型函数”．

(1)判断函数f(x)＝4x是否为“(a，b)型函数”，并说明理由；

(2)已知函数g(x)是“(1,4)型函数”，当x∈[0,2]时，都有1≤g(x)≤3成立，且当x∈[0,1]时，g(x)＝x2－m(x－1)＋1(m>0)，试求m的取值范围．

例4 已知函数f(x)的图象在[a，b]上连续不断，定义：

f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，

f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])．

其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在区间上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在区间上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数为区间[a，b]上的“k阶收缩函数”．

(1)若f(x)＝cos x，x∈[0，π]，试写出f1(x)，f2(x)的表达式；

(2)已知函数f(x)＝x2，x∈[－1,4]，试判断f(x)是否为[－1,4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出相应的k；如果不是，请说明理由；

(3)已知b>0，函数f(x)＝－x3＋3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

题型6：函数的综合性质

例1 已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)．

(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

(2)若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；

(3)若存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围．

例2 已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x－1)＋g(1－x)＝x2－2x－1，且g(1)＝－1.令f(x)19x＋＋mln x＋(m∈R，x>0)．

＝g28(1)求g(x)的表达式；

(2)若∃x>0使f(x)≤0成立，求实数m的取值范围；

(3)设1＜m≤e，H(x)＝f(x)－(m＋1)x