1.2 子集、全集、补集优质课教案

第三课时

子集、全集、补集【学习导航】 知识网络

集

相等

合

的

包含

子集

关

补集

真子集

系

全集

学习要求

1．了解集合之间包含关系的意义；

2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；

3．子集、真子集的性质；

4．了解全集的意义，理解补集的概

念．

【课堂互动】

自学评价

1．子集的概念及记法：

如果集合A的任意一个元素都是集合B 的元素（ ），则称

集合 A为集合B的子集（subset）,记为

___________或___________读作“______ __________”或“__________________”

用符号语言可表示为：________________ ____________________________________ 如右图所示：

_______________________ 注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；

（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合. 2．子集的性质：

① A  A

② A

③

AB,BC,则AC

思考:AB与BA能否同时成立？

【答】

_________ 3．真子集的概念及记法：

如果AB，并且A≠B，这时集合 A称

为集合B的真子集（proper set）,记为

_________或_________读作“__________ 听课随笔

__________”或“__________________”

4．真子集的性质：

①是任何非空集合的真子集

符号表示为___________________

②真子集具备传递性

符号表示为___________________ 5．全集的概念：

如果集合U包含我们所要研究的各个集合，

这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____ 6．补集的概念：

设____________，由U中不属于A的所有元 素组成的集合称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________ 读作“__________________________”

即：CUA=_______________________ CUA

可用

右图阴影部

分来表示： __________________ 7．补集的性质：

①

CU=__________________ ②

CUU=__________________ ③

CU(CUA)=______________ 【精典范例】

一、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式

例1．

①

写出集合{a，b}的所有子集及其真子集；

②

写出集合{a，b，c}的所有子集及其真子集；

分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏，

但应注意两个特殊的子集：和本身．

【解】

①集合{a，b}的所有子集为：

，{a }，{ b}，{a，b}；

②集合{a，b，c}的所有子集为：

，{a }，{ b}，{c}，{a，b}

{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．

点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．

①一个集合里有n个元素，那么它有2n个子集；

②一个集合里有n个元素，那么它有2n-1个真子集；

③一个集合里有n个元素，那么它有2n-2个非空真子集．

二、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系

例2：

以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．

（1）a与{a}

0 与



（2）与{20，35，2，}

（3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，

B={-2，2}；

（4）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0 ，x∈R }；

（5）S={x|x为地球人

}，A={x|x

为中国人}，B={x|x为外国人

}

【解】

点评: ①

判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念，看两个集合里的元素的关系，是包含，真包含，相等．

②元素与集合之间用_______________

集合与集合之间用_______________

追踪训练一

1．判断下列表示是否正确：

(1)

a{a

}

(2) {a

}∈{a，b

}

(3)

{a，b

} {b，a

}

(4)

{-1，1}





{-1，0，1}

(5)





{-1，1}

2．指出下列各组中集合A与B之间的关系．

(1)

A={-1，1}，B=Z；

(2)A={1，3，5，15}，B={x|x是15的正

约数}；

(3)

A = N*，B=N

(4)

A ={x|x=1+a2,a∈N*}

B={x|x=a2-4a+5,a∈N*}

3．（1）已知{1，2 }M{1，2，3，4，

5}，则这样的集合M有多少个？

（2）已知M={1，2，3，4，5，6，

7 ,8，9}，集合P满足：PM，且

若P，则10-

∈P，则这样

的集合P有多少个？

4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来． (1) 与{0}

(2) {-1，1}与{1，-1}

(3) {(a,b)} 与{(b,a)}

(4)

与{0，1，}

三、运用子集的性质

例3：设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B= {x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}，若BA，

求实数a的取值范围．

分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素，

在由BA，可知，集合B按元素的

多少分类讨论即可．

【解】

A={x|x2+4x

=0，x∈R}={0，-4}

∵ BA

∴

B=或{0}，{-4}，{0，-4}

①当B=时，⊿=[2(a+1)]2-4•(a2-1)<0

听课随笔

∴ a< -1 ②当B={0}时，02(a1)0a21

∴ a=-1 ③当B={-4}时，442(a1)16a21

∴ a=

④当B={0，-4}时，402(a1)

0a21 ∴ a=1 ∴

a的取值范围为：a<-1，或a=-1，或a=1．点评: B=易被忽视，要提防这一点．

四、补集的求法

例4：①方程组2x1060的解集为A，

3xU=R，试求A及CuA．

②设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，B是CRA的真子集，求实数a的取值范围．【解】

① A={x|12x2}，

C1uA={x|x≤2或x>2}

② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ，

CRA={x|x≤1}

∵ B是CRA的真子集

如图所示：

-a1x∴ -a ≤ 1即a≥-1

点评: 求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观．

追踪训练二

1．若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则

CUA___________

CUB___________：

听课随笔

2．设全集是数集U={2，3，a2+2a-3}，已知

A={b，2}，CUA={5}，求实数a，b的值．

3．已知集合A={x|x=a+16，a∈Z}，B={x|x=b123，b∈Z}，C={x|x=c216，c∈Z}，试判断A、B、C满足的关系

4．已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}

B 

A，求a，b的取值范围．

思维点拔：

集合中的开放问题

例5:

已知全集S={1，3x3+3x2+2x}，集合

A={1，|2x-1|}，如果CSA={0}，则这样的

实数x是否存在？若存在，求出x，若不

存在，请说明理由．

点拔：

由CSA={0}，可知，0∈S，但0A，由

0∈S，可求出x，然后结合0A，来验证

是否符合题目的隐含条件AS，从而确定

x是否存在．

学生质疑

【师生互动】

教师释疑