附录1 本章测试答案与提示第一课时导学案

第2课时

函数的定义域和值域

一、教学目标及重难点

①

函数的定义域是研究一切函数的源头，求各种类型函数的定义域是高考中每年必考的试题. ①

会求简单函数的定义域.

②

掌握求函数值域与最值的常用方法.

②

函数的值域和最值问题也是高考的必考内容，一般不会对值域和最值问题单独命题，③

能运用求值域与最值的常用方法解决实主要是结合其他知识综合考查，特别是应用际问题．

题；再就是求变量的取值范围，主要是考查求值域和最值的基本方法．

二、课前热身

1. (必修1P25例2改编)函数f(x)＝x－2＋2. (必修1P26练习6(2)(4)改编)函数y＝3. 函数y＝221的定义域是____________________．

x－31＋x＋1的定义域为__________________．

x－11的值域为________．

x＋24. 若x有意义，则函数y＝x2＋3x－5的值域是________．

25. 函数y＝的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是____________________．

x－1三.概念回顾

1. 函数的定义域

(1) 函数的定义域就是使函数表达式有意义的所有的输入值x组成的集合．在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观念．

(2) 求定义域的步骤

①

写出使函数有意义的不等式(组)．

②

解不等式(组)．

③

写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)．

(3) 常见基本初等函数的定义域

①

分式函数中分母不等于零．

②

偶次根式函数中被开方式大于或等于0. ③

一次函数、二次函数的定义域为R．

④

y＝ax，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R．

π⑤

y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．

20⑥

函数f(x)＝x的定义域为{x|x≠0}．

2. 函数的值域

(1) 在函数y＝f(x)中，与定义域中输入值x对应的y的值叫做输出值，所有输出值y组成的集合叫做函数的值域．

(2) 基本初等函数的值域

①

y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．

4ac－b22②

y＝ax＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[，＋∞)；当a<0时，值域4a

4ac－b2为(－∞，]．

4ak③

y＝(k≠0)的值域为{y|y≠0}．

x④

y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．

⑤

y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R．

⑥

y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1，1]．

⑦

y＝tan x的值域是R．

3. 函数的最值

一般地，设y＝f(x)的定义域为A. (1) 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．

(2) 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．

4. 值域与最值的关系

若函数y＝f(x)的最大值为b，最小值为a，那么y＝f(x)的值域必定是数集[a，b]的子集，若f(x)可以取到[a，b]中的一切值，那么其值域就是[a，b]．

5. 复合函数

6. 函数解析式的表示离不开函数的定义域．

四、例题讲解

11x＋＋fx－的定义域是例1 (1) 已知函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f22__________．

ln（x＋1）(2) 函数y＝的定义域为____________．

－x2－3x＋4变式训练

（x＋1）0(1) 求函数y＝的定义域；

|x|－x(2) 函数f(x)的定义域是[－1，1]，求f(log2x)的定义域．

例2求下列函数的值域：

1－x22x－1x2－4x＋5(1) f(x)＝x－1－2x；(2) y＝；(3) y＝，x∈[3，5]；(4) y＝(x>1)．

1＋x2x＋1x－1

备选变式（教师专享）

求下列函数的值域：

x2－9(1) f(x)＝1－x＋x＋3；(2) g(x)＝2；(3) y＝log3x＋logx3－1. x－7x＋12最值的应用)

x2＋2x＋a例3

已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

x1(1) 当a＝时，求函数f(x)的最小值；

2(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

【思维导图】

函数恒成立→不等式恒成立→分类讨论→新函数的最值→a的取值范围

11【规范解答】

解：(1) 当a＝时，f(x)＝x＋＋2. 22x7∵

f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴ f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝. 22x＋2x＋a(2) (解法1)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝

>0恒成立，∴

x2＋2x＋a>0恒成立．

x设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)．

∵

y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，

∴

当x＝1时，ymin＝3＋a，当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3. a(解法2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．

x当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；

当a<0时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，f(x)min＝3＋a，

当且仅当f(x)min＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3. 【精要点评】

解法1运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法2运用了分类讨论思想．

●总结归纳

(1) 求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．

(2) 函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求具备较高的数学思维能力、综合分析能力以及较强的运算能力．

(3) 运用函数的值域解决实际问题

此类问题的关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题目要求具有较强的分析能力和数学建模能力．

●题组练透

1. 函数y＝x2＋x＋1的值域是____________．

2. 函数y＝x＋1－2x的值域是____________．

3. 已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6. (1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a的值；

(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a－1|的值域．

4. 已知函数y＝mx2－6mx＋m＋8的定义域为R. (1) 求实数m的取值范围；

(2) 当m变化时，若y的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．

课后练习

ln（2x－x2）1. 函数f(x)＝的定义域为____________．

x－1答案：(0，1)∪(1，2)

2. 已知函数y＝x2－2x＋a的定义域为R，值域为[0，＋∞)，则实数a的取值集合为________．

x2，x≤0，3. 函数f(x)＝的值域为____________．

2－x＋1，x＞0－x＋6，x≤2，4. 若函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范3＋logax，x>2围是________．

5. 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．

6. (2018·南阳一中二模)设g(x)＝mx2＋x＋1. (1) 若g(x)的定义域为R，求m的取值范围；

(2) 若g(x)的值域为[0，＋∞)，求m的取值范围．