3.1.2 指数函数PPT及课堂实录内容

指数函数及其性质（第一课时）教学案

环节一：创设情境，形成概念

师：我们在初中学习了一些基本初等函数，高中阶段又进而学习了函数定义及性质，你能否用函数的观点分析下面这段新闻？请看：《物种入侵-澳大利亚的野兔》的新闻视频。

根据这个实例，把现实问题呈现“数字化” ,提出问题：

问题1：若兔子种群每月成倍增长，由最初第一个月的一对兔子开始，一个月后，两个月后，三个月后，分别有多少对兔子？

学生答：2,22,23

再问：如果月数用x表示，兔子对数用y表示，它们有什么关系？ 学生答：y2x,(xN*)。

师：兔子数量的翻翻增长给澳大利亚带来了前所未有的灾难，无奈之下，政府最终决定采用生物控制的办法，粘液瘤病毒一经引进，很快便在整个兔群中传播开来，困扰澳大利亚近百年的兔灾终于被控制住了. 问题2：引进病毒后，兔子种群（视为1个单位）若每天按6%的速度减少，问天数x与剩余量y的关系？

生答：y0.94,(xN*)

回忆：课本48页的问题1：从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%．那么，在2001——2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？

1年后即（2001年），我国的GDP可望为2000年的（1+7.3%）倍

2年后即（2002年），我国的GDP可望为2000年的（1+7.3%）2倍

3年后即（2003年），我国的GDP可望为2000年的（1+7.3%）3倍

……

设x年后我国的国内生产总值为2000年的y倍，那么y1.073x(xN*,x20)．

师：我们把这三个关系式抽离实际背景. xy2x,y0.94,

y1.073x

问题3：它们的关系能否构成函数？为什么？

请观察这三个函数，这些函数你熟悉吗？它们的函数解析式有什么共同特征？

你能抽象、概括出此类函数一般的“模型”吗？ 学生回答教师引导用函数定义（如，自变量，值域，对应关系等）解释为什么？

学生归纳概括得出一般的模型：yax. x第1页

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师：x是自变量，y是因变量，描述了这两个变量之间的函数关系，底数a是个常数.类似于上节课研究指数与指数幂的运算，为使这个函数适用范围更广,希望把函数的定义域扩展为实数集R，那么对底数a的取值有什么要求呢？

问题4:函数yax中对底数a的取值有什么要求吗？为什么？

展示问题并先让学生独立思考，再组织学生展开小组讨论并适时进行点拨、评价.老师引导学生思考当a取a<0和a=0、a=1的数会有什么情况？

①若a<0会有什么问题？（如a=-2则在实数范围内相应的函数值不存在情况比较复杂）

②若a=0会有什么问题？（对于x≤0，0x都无意义）

③若a=1又会怎么样？（1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）

老师引导学生总结，得出指数函数的概念: 一般地，函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

环节二：小组合作，探究新知

回顾研究基本初等函数性质的基本方法和步骤：

先给出函数的定义 作出函数图象 研究函数性质 性质运用解决问题

问题1:我们学过函数的哪些性质? 生：（1）定义域（2）值域（3）单调性（4）奇偶性（5）其它特性

师：对于新学的指数函数，也要研究这个函数性质，那这个函数有什么性质？你打算如何探究归纳出它的性质？

生：通过函数的数与形两个方面研究，可先画几个具体的指数函数的图象，如y2x和1y()x等，再归纳出一般的指数函数性质。

2按学生说的数形结合的方法研究指数函数性质：

学生活动：请每个小组在不同的坐标系内画出下列指数函数图象.

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111y2；

y

，y3x； y； y5x； y；

523xxxx学生自己用列表、描点、连线画出具体的指数函数图象。

教师提出思考：猜想指数函数可能有那些性质？

教师利用几何画板使六个图象在同一坐标系内，给学生提出研究步骤，让学生充分思考并在小组内讨论归纳性质：

问题2：

这六个特殊的指数函数图象有什么共同点和不同点？由它们的图象特点你会怎样对它们进行分类? 问题3：当底数变为a（a0且a1）时，一般的指数函数图象有什么共同点？能归纳出指数函数的哪些性质？

师生活动：针对思考的问题组织学生采用分组讨论、代表上讲台用图象说明函数性质，图象与解析式对应说话，教师引导点评完善，在生生互动和师生互动中探究问题。

学生在充分讨论后由教师利用

“几何画板”演示指数函数图象的形式，让学生仔细观察底数a不断变化时，指数函数图象和性质有何变化，验证学生探究的结果。

问题4：你能归纳出指数函数的哪些性质？

图象

性质

a＞1 0＜a＜1

教师总结：指数函数性质的掌握要数形结合，心中有图，利用图表记住但注意灵活运用。

环节三：学以致用，拓展思维

例1.

不通过计算比较下列各组数中各个值的大小：

11（1）1.72.5

，1.73 ； （2） 0.80.1，0.80.2； （3） 与

； 4211

（4）1.70.7，0.71.7； (5)a3,a2(a0,且a1) 由（1）（2）（3）让学生回归概念与性质，构造函数，利用单调性比两个函数值的大小。

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0.81.8

由（4）启发学生数形结合或寻找中间值，利用这个“桥梁“比大小

（5）构造的函数，通过分类讨论确定单调性，再比较两个函数值的大小。

预想学生作答中的困难可能有：

（1）是否能够构造指数函数，并正确应用函数性质；

(2)若出现不同底是否能够运用指数幂运算化为同底; (3)对第四个题学生是否能找到合适的中间值；

(4)分类讨论是否考虑了的限制条件。

思考: 你能发现题中所给的各式有哪些共同点和不同点吗？这些特点能否给你解答该题有所启示呢？

师生共同总结：

①当底数相同且明确底数与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解．

②当底数不同可以转化成同底数或借助中间值，比较两个数的大小．

③当底数相同但不明确底数与1的大小关系时，要分情况讨论．

环节四：归纳小结，深化目标

思考:本课你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？请回忆学习过程，过程中提炼了哪些思想方法？

（1）数学知识点：指数函数的概念、图象和性质．

（2）研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用.在研究函数性质及途径时，由具体到一般研究问题的方法

（3）数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想. 环节五：布置作业，延伸课堂

详见教学案

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