2.2.1 函数的单调性国家获奖教案

函数的单调性

一、

函数单调性的的判断方法

除了用差分法（又称定义法）判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种：

1.直接法

直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：

(1)正比例函数ykx(k0)：

1当k0时，函数ykx在定义域R上是增函数；○2当k0时，函数ykx在○定义域R上是减函数. k(2)反比例函数y(k0)：

xk1当k0时，函数y的单调递减区间是(,0),(0,)，不存在单调递增区○xk间；○2当k0时，函数y的单调递增区间是(,0),(0,)，不存在单调递增区x间. (3)一次函数ykxb(k0)：

1当k0时，函数ykxb在定义域R上是增函数；○2当k0时，函数○ykxb在定义域R上是减函数. （4）二次函数yax2bxc(a0)：

1当a0时，函数yax2bxc的图像开口向上，单调递减区间是(,○单调递增区间是[b]，2ab,)；○2当a0时，函数yax2bxc的图像开口向下，单2abb调递增区间是(,]，单调递减区间是[,). 2a2a注意：yf(x)x3在定义域R上是增函数，其图像如右图：

2.图像法

画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性. 3.运算性质法

（1）函数f(x)与af(x)，当a0时有相同的单调性，当a0时有相反的单调性；如函数f(x)x与3f(x)3x的单调性相反，函

数f(x)x与3f(x)3x的单调性相同；

（2）当函数f(x)恒为正（或恒为负）时f(x)与数f(x)数；

（3）若f(x则f(x)与)0，如：函数f(x)2x23x4，f(x)具有相同的单调性，1有相反的单调性，如：函f(x)1110(x(,0))是递增函数，则x在区间(,0)是递减函1xf(x)x33在定义域R上，f(x)0，且f(x)是(,]上的递减函数，是[,)上的递增函4433数，所以函数f(x)2x23x4是(,]上的递减函数，是[,)上的递增44函数；

（4）若f(x)，g(x)的单调性相同，则f(x)g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单1x211x，令f(x)x,g(x)，即

调性相同.如F(x)xxxF(x)f(x)g(x)，因为函数f(x)在R上单调递减，g(x)的单调递减区间是x211x的单调递减区间是

，所以函数F(x)(,0),(0,）xx；

(,0),(0,）

(5) 若f(x)，g(x)的单调性相反，则f(x)g(x)的单调性与f(x)的相同.因为g(x)与f(x)的单调性相同，所以f(x)g(x)的单调性与f(x)的相同. 二、抽象函数单调性的判定

没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数单调性是一类重要的题型，其解法采用差分法.

实例1

已知定义在(0,)上的函数f(x)对任意x,y(0,)，恒有

f(xy)f(x)f(y)，且当0x1时f(x)0，判断f(x)在(0,)上的单调性. 解

设x,xh(0,),h0，则f(xh)f(x)f(xh)f[f(xh)[f(xx)f(xh)]f(). xhxhx(xh)]

xh

0xxx1,f()0,f()0，f(xh)f(x)0，所以函数

xhxhxhf(x)在(0,)上的单调递减. 二、

复合函数单调性的判定方法

求复合函数yf(g(x))的单调性的步骤：

（1）

求出函数的定义域；

（2）

明确构成复合函数的简单函数（所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数）:yf(u),ug(x); （3）

确定简单函数的单调性；

（4）

若这两个函数同增或同减（单调性相同），则yf(g(x))为增函数；若这两个函数一增一减（单调性相异）则yf(g(x))为减函数简记为“同增异减”. 如下表所示：

函数

ug(x)

单调增

性

yf(u)

复合函数yf(g(x))

增

减

减

增

减

增

减

增

增

减

减

实例2

求函数f(x)x23x4在定义域上的单调区间

解：由解析式得x23x40，即函数的定义域为{x|x4或x1}.令tx23x4，则yt.yt是增函数，而tx23x4在(,4]上是减函数，在[1,)上是增函数，函数f(x)x23x4的递增区间为[1,)，递减区间为(,4]. 三、

单调性的应用

1.

用函数的单调性比较大小

利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，即已知函数yf(x)在定义域的某个区间上为增函数，若对区间内的任意两个值x1,x2且

x1x2，则f(x1)f(x2).减函数也有类似的性质. 3示例3

已知函数yf(x)在[0,)上是减函数，试比较f()与f(a2a1)的大4小. 1333解：a2a1(a)2，与a2a1都在区间[0,)内. 2444

又

3yf(x)在区间[0,)上是减函数，f()f(a2a1).

4注意：解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是否在所给区间内. 示例4

已知f(x)是定义在[1,1]上的增函数，且f(x1)f(13x)，求x的取值范围. 解

f(x)是定义在[1,1]上的增函数，且f(x1)f(13x)，可得不等式组0x2,1x11,112113x1,0xx[0,). 即解得，所以所求0x,223x113x,1x.22.

用函数的单调性求最值

在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论：

（1）

若f(x)在定义域[a,b]是增函数，则当xa时，f(x)取得最小值f(a)当xb，f(x)取得最大值f(b)如图2. （2）

若f(x)在定义域[a,b]是减函数，则当xa时，f(x)取得最大值f(a)，当xb，f(x)取得最小值f(b)如图3. （3）已知函数yf(x),x[a,b],acb，如果f(x)在[a,c]上是单调递增（减）函数，在[c,b]上是单调递减（增）函数，则f(x)在xc时取得最大（小）值，在xa或xb时取得最小（大）值，如下图4,5.

示例5

求函数y3x284x的最大值. 解：令f(x)3x2，g(x)84x，则yf(x)g(x).由题意得函数的定义域为(,2].f(x)3x2在(,2]上递增，g(x)84x在(,2]上递减，但g(x)84x在(,2]上递增，y3x284x在(,2]上为递增函数，当x2时，y有最大值4. 注意：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性. 3.利用单调性求参数的取值

举例应用：课本40页例3 4.解含“f”的不等式

根据函数yf(x)在某区间上的单调性及函数值的大小，可以求自变量的取值范围即已知函数yf(x)在定义域内的某个区间上为增函数，若f(x1)f(x2),则x1x2；若已知函数yf(x)在定义域内的某个区间上为减函数，

若f(x1)f(x2),则x1x2，就是增（减）函数定义的逆应用. 示例6

已知函数yf(x)是R上的减函数，且f(2x3)f(5x6)，求实数x的取值范围. 解：函数yf(x)是R上的减函数，且f(2x3)f(5x6)，

2x35x6，x(3,). 函数的定义域和值域

一、复合函数的定义域

复合函数yf(g(x))的定义域，是函数g(x)的定义域中，使中间变量ug(x)属于函

数f(u)的定义域全体.

示例1

若函数f(x)的定义域为[1,4]，求函数f(x4)的定义域. 解：函数f(x)的定义域为[1,4]，使得f(x4)有意义的条件是

1x44,即3x0，则f(x4)的定义域为[3,0]. 注意：这类型的题目简记为“对应法则相同，括号内的取值范围相同”. 示例2

已知f(x3)的定义域为[0,3]，求函数f(x)的定义域. 解题分析：函数f(x3)和f(x)中的x并不是同一个量，若设ux3，则那么u的取值范围才是函数f(x)的定义域，即“对应法则相同，f(x3)变成f(u)，括号内的取值范围相同”. 解：f(x3)的定义域为[0,3]，0x3，则3x36，所以

函数f(x)的定义域为[3,6]. 二、求函数值域的常用方法

1.公式法：适用于初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数及以后学习的基axba本初等函数，形如y（c0且分式不可约）的值域为{y|y}. cxdc3x1

示例3

求函数y的值域

x13x133x1解：函数y，的y3，yx11x1值域为{y|y3}. 2.图像法：适用于能画出图像的函数.如yx22x5(x(,2])的图像如右图所示，所以值域为[6,).

3.不等式性质法（包括配方法、分离常数法、有界性法）适用于解析式只含“一个”x或通过变形能化成只出现“一个”x的函数，如y1|,|x由|x|0，则1|x|1，可得

y(,1]；又如y127711(x)，

，因为217244xx2(x)224

414，所以y(0,].

1777(x)2242x3(2x2且x1)的值域

示例4求函数f(x)x12x32(x1)552

解：f(x)，由2x2且x1，得

x1x1x11x13且x10. 5

令tx1，则1t3且t0.结合反比例函数y的图像可知，当

t5551t3且t0，即t[1,0)(0,3]时，或5. t3t555515或5.f(x)2或f(x)27.

x13x1x13x12x31(2x2且x1)的值域为（-，][7,).

f(x)x13

4.换元法：适用于无理式中含自变量的函. 所以0

示例5

求函数yx21x的值域. 解：函数的定义域是{x|x1}.令1xt，则t[0,)，xt2+1，

结合二次函数的图像y2，yt212t(t22t1)2(t1)22，t0，（-，2]. 原函数的值域为

注意：解这类型的题目要注意函数的定义域,在利用换元法求函数值域时，一定要注意新变量t的取值范围，若忽视了这点，就容易造成错误.

ax2bxc5.判别式法：适用于形如y2(a,d不全为零且分式不可约)的函数.dxexf2x24x7示例6

求函数y2的值域. x2x32x24x7解：由y2得(y2)x22(y2)x3y70，当y2时，方程无解；x2x3

当y2时，要使关于x的方程有解，必须4(y2)24(y2)(3y7)0，

解得

9y2.

29原函数的值域为[-，2). 26.方程思想（包括判别式法、反解法）适用于可解出x的解析式的函数. 1x2示例7 求函数y的值域

1x2

1x22解：由y得(y1)xy10，当y1时，方程无解：当y1时，要21x使关于x的方程有解，必须04(y1)(y1)0，解得1y1. 原函数的值域为[-1，1]. 3x1示例7：求函数y的值域. x1解：由y3x1y1得y(x1)3x1(y3)xy10x，

x1只要y30,即y3，就有xy1y3. 原函数的值域为{y|y3}. y3