“HL”教案2

1.3探索三角形全等的条件⑸

班级 姓名 学号 学习目标

⒈理解“HL”的条件，并运用“HL”判别两个直角三角形全等；

⒉了解特殊与一般的关系，培养辩证的思维方法；

⒊要求学生学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化．

此外，通过多种说理形式的训练，让学生选择自己喜欢的表达方式进行说理．

学习难点

理解“HL”的条件，并运用“HL”判别两个直角三角形全等

教学过程

㈠设置情景，探索问题

教材中提供了情境，让学生思考，直角三角形全等的条件有哪些？一方面可以复习前面所学过的各种判定方法，另一方面也提出了一个新的问题：“AAA”显然不能作为直角三角形全等的条件，那么满足“SSA”条件的两个直角三角形是否全等呢？自然引发学生进行操作和讨论．

根据教学实际，我们还可以设计其它情境．

情境1：试用尺规作出满足下列条件的三角形．

⑴∠B=30°，AB=5cm，AC=3cm；（追问：所作的三角形为什么不一定全等？）

⑵∠B=30°，AB=5cm，AC=2.5cm；（追问：所作的三角形全等吗？）

对于这个情境，我们可以与学生一道进行如下探索：

ABAB,⑴如图11.3-5-1，对于非直角三角形，满足条件AC1AC2,的三角形有两个△ABC1和△ABCABC.12ABC2，它们不全等是显然的，因为△ABC2比△ABC1多出了部分，这部分就是等腰△AC1 C2；其实我们还可以由∠AC2B是锐角而∠AC1B是钝角作出判断．

B

D C1

图11.3-5-1 C2

B （C1）D（C2）

图11.3-5-2 1 A A A B D 徐州第十三中学

图11.3-5-3 C

⑵对上述图形，如果逐渐减小AC的长度，我们会发现C1 C2的长度也随之减小，△AC1 C2随之变得越来越“窄”（高不变），如图11.3-5-2，我们可以想像，当AC的长度减小到某一个值时，C1

C2褪化为一点，这时AC1

和AC2都与高AD重合，

即△ABC2和△ABC1都是直角三角形，且△ABC2≌△ABC1．其实我们仍然可以从∠AC2B和∠AC1B都是直角作出判断．

情境2：先准备一张等腰三角形纸片ABC（AB=AC），将它沿底边上的高AD对折．让学生猜测：高两侧的部分能否完全重合？(如图11.3-5-3)为什么？

这里，让学生经历操作过程，感知其中的现象，并形成定向的数学思考．

情境3：两个直角三角形全等的条件有哪些？与你的同伴交流交流．

这个活动既是方法回顾的过程，又是质疑和辨别的过程，同时，也为“HL”的引入提供了自然的情境．

问题1：“SSA”和“AAA”不能作为三角形全等的判定，你能举出反例吗？

让学生进入理性思考阶段．

问题2：既然直角三角形是特殊的三角形，那么它是否也有特殊的全等条件呢？

情境4：动手操作．

在操作时可以提醒学生注意：

⑴所作图形须符合“SSA”的条件；

⑵工具选择要合理；

⑶尽量减少作图中的人为误差．

问题：你发现了什么？

对两个直角三角形，除直角外，如果斜边和一条直角对应相等，那么这两个直角三角形全等．

这个结论是一个特殊的直角三角形全等的条件，简写为“斜边、直角边”或“HL”．

说明:⑴通过折纸，激发学生进行数学思考，进一步加深对“HL”的理解；

⑵如何正确进行文字语言、符号语言和图形语言的相互转化．

例题设计

⒈教材P.119例4．关于例题教学的建议：

⑴用“HL”的首要条件是在两个直角三角形中；

⑵让学生辨清所用全等的条件究竟是“HL”还是“SAS”；

2 徐州第十三中学

⑶如果设AD、BC的交点为E，那么在图中，你还能得到哪对全等三角形？试说明理由；

⑷如果对图形作适当的变式(如图11.3-5-4)，结论是否仍然成立？

A

D

A

A′

B

B′

B

D

A

C

⒉如图11.3-5-5，AC=AD，∠C=∠D=90°. ⑴试说明：AB是∠DBC的平分线. ⑵如果连结DC，你有什么新的发现？

C

D

CB

图11.3-5-4 图11.3-5-5 说明：本题主要引导学生如何形成用“HL”的意识；连结DC后，我们可以得到更多的全等三角形，可以让学生在不同的情景下合理选择全等三角形的条件．

⒊如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D.AC与BD相交于点E.试问：当图中哪两条线段相等时，△ABC≌△BAD？

说明：

⑴本题的用意在于，让学生理解两个直角三角形全等的条件不一定都是“HL”，要根据已有的条件确定选用哪种方法最合适；

⑵这一个条件可以是下列中的任意一个：

①AD=BC；②AC=BD；③DE=CE；④EA=EB；

⑶本题还可以进一步追问：如果所问的条件不限“两条线段相等”，那么你又能确定哪些条件呢？

D

E

CA

B 图12.3-5-6 【课后作业】

班级 姓名 学号 1．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有

对全等三角形．

3 徐州第十三中学

ACAOBEBD

（第1题图）

（第2题图）

2．如图，△ABC≌△ADE，则，AB=

，∠E=∠

．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=

°．

3．把两根钢条AA´、BB´的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），

如图，

若测得AB=5厘米，则槽宽为

米．

CAD

BA

AB

O

DCB

AB

（第3题图）

（第4题图）

（第6题图）

4．如图，∠A=∠D，AB=CD，则△

≌△

，根据是

．

5．如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件

或

；

若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件

，或

DC6．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则______≌______。依据是______,BD＝______,∠BAD=______.

7.如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，ΔABE与ΔACD全等吗？说明你的理由。（6分）

A

DE

O

BC

4

徐州第十三中学

8．如图，已知∠ACB＝∠BD＝90°，若要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。

9.已知：如图，AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD相交于点O，且AC=BD. ⑴试说明：OD=OC．

(本题目的在于让学生在较为复杂的图形中发现“HL”的条件，并能用“HL”解决简单的问题) ⑵在图中，你还能得到哪些结论？

10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．

⑴要得到DE=DF，点D应该满足什么条件？请说明理由．

⑵在⑴的条件下，试探究直线AD上任意一点P所具有的特征，并说明理由．

说明：其实，本题是在课堂练习⑶的基础上，对角平分线的条件是性质进行进一步探究．⑴中的条件可以是下列中的任意一个：

AE=AF（“HL”）、BD=CD（“AAS”）、BE=CF（“ASA”）、∠DAE=∠DAF（“AAS”）、∠ADE=∠ADF（“ASA”）等．⑵中直线AD上任意一点P所具有的特征是“点P到AB、AC边的距离相等”．（也可以说“点P到点B、点C的距离相等”）

5 D O A 图11.3-5-7 C B B E D C F A 图11.3-5-8 徐州第十三中学

6 徐州第十三中学