平方差公式的应用优秀获奖教案

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平方差公式

第2课时

利用平方差公式计算

图1－5－2 情景导入

教师用多媒体展示：如图1－5－2，在边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．

(1)请表示图中阴影部分的面积：S＝__a2－b2__．

(2)请你将阴影部分拼成一个长方形，并在上面画出来，这个长方形的长和宽分别是多少？

长＝__a＋b__，

宽＝__a－b__，S＝__(a＋b)(a－b)__．

(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？

[说明与建议] 说明：利用正方形面积转换成长方形面积，通过等积变形，得出平方差公式，使学生体会平方差公式的实际意义，理解数学知识与现实生活的密切联系，培养学生学数学、用数学的习惯．建议：学生在独立思考的基础上进行交流、分析，通过对面积的不同表示，直观地体验平方差公式的具体应用．

置疑导入

问题：(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特征．

6×8＝

，61×63＝

，59×61＝

，13×15＝

，



7×7＝

；62×62＝

；60×60＝

Ｗ.14×14＝

；(2)从以上的过程中，你能寻找出什么规律？

(3)请你用字母表示你所发现的规律，并得出结论．

[说明与建议] 说明：通过列举算式的简便运算，引起学生的学习兴趣．建议：教学中教师注意引导鼓励学生用简便方法计算，教师根据情况可讲解、分析其中一题．教学中教师要充分引导学生体会用特例进行归纳、建立猜想，用符号表示并给出证明这一重要的探索过程，要让学生体会符号运算对证明猜想的作用．

归纳导入

自主探究：

计算下列多项式的积：

(1)(x＋1)(x－1)＝

__x2－x＋x－1__＝__x2－1__；

(2)(m＋2)(m－2)＝__m2－2m＋2m－4__＝__m2－4__；

(3)(2x＋1)(2x－1)＝__4x2－2x＋2x－1__＝__4x2－1__．

观察上述算式，你发现了什么规律？运算出结果后，你又发现了什么规律？

图1－5－3

思考：你能根据图1－5－3中的面积关系说明你发现的公式吗？

[说明与建议] 说明：以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学情景，加深学生的体验，增加学生学习数学和使用数学的信心．培养学生由观察——发现——归纳——验证——使用这一数学方法的逐步形成．建议：鼓励学生大胆表达意见，积极与小组同伴合作，讨论、交流，然后统一看法．

复习导入

活动内容1：平方差公式的结构特征

问题1：平方差公式用字母如何表示？

问题2：平方差公式用语言如何叙述？

问题3：平方差公式中的字母可以表示什么？

活动内容2：用平方差公式计算：

(1)(2x＋1)(2x－1)；

(2)(－9x－2y)(－9x＋2y)；

(3)(8a2b－1)(1＋8a2b)．

[说明与建议] 说明：上节课直接利用多项式乘多项式法则，推导得到平方差公式，设计这一环节的目的是在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备．建议：让学生在黑板上板书计算过程(第(1)题由基础较薄弱的学生完成；第(2)，(3)题由基础较好的学生完成)，其余学生在练习本上完成．讲评时教师让学生叙述平方差公式的特征及应用平方差公式的注意事项．

教材母题——第22页例3 用平方差公式进行计算：

(1)103×97；

(2)118×122. 【模型建立】

利用平方差公式的结构特征将两个数的乘积写成平方差的形式，要准确地确定对应的a和b. 【变式变形】

1．计算：(1)10.2×9.8；

(2)998×1002；

(3)2001×1999－20002；

(4)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)(264＋1)．

[答案：(1)99.96

(2)999996

(3)－1

(4)2128－1] 1112．计算：(1)(－x＋3y)(－x－3y)；

(2)(x－)(x＋)(x2＋)；

22431(3)7×8. 44解：(1)(－x＋3y)(－x－3y)＝(－x)2－(3y)2＝x2－9y2.

11111(2)(x－)(x＋)(x2＋)＝[x2－()2](x2＋)

224241111＝(x2－)(x2＋)＝(x2)2－()2＝x4－.

4441631111115(3)7×8＝(8－)(8＋)＝82－()2＝64－＝63. 444441616113．计算：(a＋b)(a－b)－(3a－2b)(3a＋2b)．

2215[答案：－8a2＋b2] 4

[命题角度1] 利用平方差公式化简计算

整式的化简计算中经常用到平方差公式，在使用公式的时候要注意符号的变化．

例

先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋b(a＋2b)－b2，其中a＝1，b＝－2. 解：原式＝a2－b2＋ab＋2b2－b2

＝a2＋ab，

当a＝1，b＝－2时，

原式＝1＋(－2)＝－1. 利用平方差公式的结构特征探究规律

在算式中合理构造公式是发现规律的重要环节．

例

观察下列关于自然数的等式：

32－4×12＝5，①

52－4×22＝9，②

72－4×32＝13, ③

…

根据上述规律解决下列问题：

(1)完成第四个等式：92－4×(

)2＝(

)；

(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．

解：(1)92－4×42＝17.

(2)(2n＋1)2－4n2＝(2n＋1)＋2n. 添项后运用平方差公式

通过适当的添项变形成平方差公式的形式，进行简便计算的一类题．解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．

例

计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1. [答案：216] 利用平方差公式进行简便计算

利用平方差公式计算两个绝对值较大的数的乘积时，关键是将已知数写成两数和与这两数差的积的形式．

例

计算：(1)1007×993；

(2)118×122. 解：(1)1007×993＝(1000＋7)(1000－7)＝10002－72＝1000000－49＝999951.

(2)118×122＝(120－2)(120＋2)＝1202－22＝14396.

利用平方差公式计算图形的面积

图形面积的计算往往是利用面积的不同表示方法将问题转化，进而达到求解的目的．

一个大正方形和四个全等的小正方形按图1－5－4①②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__ab__(用含a，b的代数式表示)．