三角形的高教案板书设计

成都市盐道街中学张景中院士教育数学创新实践(第二轮) 三角形边角边正弦面积公式

教学设计

成都市盐道街中学 马文兵

一、教材分析

三角函数是初中九年级涉及的知识点，是高中重点讲解的内容。而在成都市中考中三角函数经常出现在B卷填空或者27题综合题中，常常是学生的失分点，难度大，综合性强。根据张景中院士的多年研究，在初一引出三角函数，结合北师大教材，综合学习，不仅缩短教学时间，更能让学生找到更简单的解决方案。

本堂课是张景中院士编写的《一线串通的初等数学》中的由面积计算引出三角函数正弦，这是“重建三角的首课”，是认识三角函数正弦的第一步，本节课以单位菱形的面积引出正弦定义，再进一步得到三角形边角边面积公式，将图形的面积、线段、角度联系起来，实现数学知识与思维的一线串通。

二、学情分析

初一（下）的学生现阶段已经学习了三角形全等，具备基本的几何解题思路，其次，本堂课要用到菱形的面积引入正弦，所以用微课讲解菱形的定义与性质，让学生有本节课的知识储备。

学生对新知识都有着较强的兴趣，所以在课堂中设置小组学习以及探究活动，能够充分调动学生的积极性。

三、教学目标

1.了解菱形的定义与性质；

2.理解用“单位菱形”的面积定义正弦概念的合理性；

2.理解三角形边角边正弦面积公式推导的合理性，并能用三角形边角边正弦面积公式进行有关的计算和证明。

四、教学重难点

1.教学重点：

（1）理解用“单位菱形”的面积定义正弦概念的合理性；

（2）任意三角形边角边正弦面积公式及运用。

2.教学难点：

（1）理解单位菱形的面积与其中一个角的对应关系；

（2）运用三角形边角边正弦面积公式解决几何问题。

五、教学媒体

1.超级画板：超级画板是目前国内数学领先的教学辅助软件，这个软件操作简单，教学生动方便，同时也给学生提供了观察、创造、合作的数学交流平台。

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成都市盐道街中学张景中院士教育数学创新实践(第二轮)

2.计算器（有计算三角函数值功能）。

六、教学过程

第一环节：【微课视频】从平行四边形到菱形

设计目的：初一的学生不知道什么是菱形，视频观看，了解菱形的定义与性质，了解什么叫单位正方形和单位菱形，为引入正弦作铺垫。

第二环节:【问题引入】（超级画板动画演示）

C D

D

C A B B A 如图，已知单位正方形ABCD，∠A为多少度？正方形面积为多少？

拖动D点正方形ABCD形状发生改变，请问现在四边形ABCD是什么图形？它的哪些元素发生了改变？

设计意图：求正方形的面积学生非常简单，直观的感受面积与角有关。当出现第二个问题时学生认知产生冲突，激发学生求知欲望，提高学习兴趣。

第三环节：【探究新知】

一、正弦的定义（超级画板演示）

首先，观察动画，你觉得单位菱形的面积和什么有关？（高）

高因为什么改变而改变？

观察动画，改变∠A的度数，菱形的高也随之改变，所以，菱形的面积和角度有关。

为了解决这个问题，我们将单位菱形的面积叫做∠A的正弦，记作sin∠A。

（动画演示单位菱形面积随着角度的改变而改变）

变化本质：角度改变，高度也改变

A D

B A B C D C 当A75，S单位菱形0.97

当A50，S单位菱形0.77结论：菱形的面积由其中一个角决定

定义：单位菱形的面积叫做∠A的正弦

设计意图：通过动画展示进一步让学生感受到单位菱形的面积和角度有关，从而达到引出正弦定义。这里要注意解释单位正方形和单位菱形

活动：你写我说

1.当∠A为30°、60°、90°请计算出单位菱形的面积（保留两位有效数字）（可用计算器或

2

成都市盐道街中学张景中院士教育数学创新实践(第二轮) 中学数学用表）

2.说一说sin0°、sin90°、sin180°的含义。

小结：角的正弦就是单位菱形的面积

设计意图：进一步巩固正弦的定义，能够求出一些特殊的正弦值。

二、利用正弦求三角形面积

问题1：如图，边长为1的小正方形组合成一个大正方形方形，大正方形的面积是

。

大正方形面积=3×3×1（单位正方形的面积）

换句话说：大方形面积等于9个单位正方形面积和

问题2：图1大菱形由

个边长为1菱形组成，大菱形的面积可以表示为

。

图2平行四边形的面积可以表示为

, 图3呢？面积可以表示为

。

D

A

如图4，AB边有a个单位菱形，AD边有b个单位菱形，则平行四边形ABCD的面积为多少？

（SabsinA）

A

B A 图4 D C C C D C D B A B 图1 A 图2 B A 图3 B D C B 从特殊到一般，你能表示出平行四边形ABCD的面积吗？

D C 平行四边形的面积等于一组邻边之积，再乘以夹角正弦。

SABADsinA

3

成都市盐道街中学张景中院士教育数学创新实践(第二轮) 你能求出三角形ABD的面积吗？

A

B A D C D 三角形的面积等于两边的乘积，再乘以夹角正弦的一半。

B S1ABADsinA

2（公式记忆：边角边面积公式，线段求解，字母计算，具体数据计算）

其他表示方法：

SABC1ABADsinA2SABC1BDADsinC

2设计意图：这里采用从大正方形大菱形的表示过度到一般平行四边形的表示，降低学生理解的难度。以平行四边形推导出三角形的面积公式，总结公式特点，强化记忆。

第四环节：【运用新知】

1.计算下列三角形的面积（教师规范板书其中一个）

2.已知ABC中,BC=4，B30,ABC的面积为5，那么BA= 。

3.模仿上面两道题，你能编写一道关于三角形边、角、边、面积的题，并让你的同桌解答.

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成都市盐道街中学张景中院士教育数学创新实践(第二轮) 第五环节:【拓展探究】

1.探究：直角三角形中,30°的角所对的直角边与斜边的数量关系?你能用今天所学的知识证明吗?

数学思想方法渗透：算两次

2.已知:ABC中,BC,求证:AB=AC

设计意图：对于新内容学生感兴趣，但是不知道学习的作用在哪里？我们学正弦有什么好处？这里结合三角形全等证明，利用正弦证明充分体现出正弦的优越性，从而提高学生研究探讨的兴趣，以及未来的使用选择性提高。

第六环节:【课堂小结】

通过本节课的学习,谈谈你的收获，说说你的疑惑.

5 BCAABC

成都市盐道街中学张景中院士教育数学创新实践(第二轮) 【思考题】

在表示单位菱形的面积中，我们只用了∠A的正弦值，那其他三个角的正弦值和∠A有什么关系吗？你来试一试

（动画演示求任意角度的菱形四个角的正弦值）

通过计算、观察发现：

1.sinAsinBsinCsinD

2.根据计算结果你能得到什么结论？

①每一个角的正弦都可以表示单位菱形的面积

②等角的正弦值相等，互为补角的正弦值相等（等角或补角的正弦值相等）

几何语言：A B D C 若,则sinsin若180,则sinsin

【反馈导练】

1.已知，DE是边长为1的菱形ABCD边AB上的高，DE=0.6，则sinA= . 2.ABC的两边AB、AC长分别为4和5，面积为5，则∠A= . 3.在三角形ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C

4.

如图，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，连接AE、CG.

求证:SABESBCG

GFCDABCBAE

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