信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学设计第二课时

几何视野下之—伸缩变化在椭圆中的应用

授课人：崔永君

授课班级：高三10班

授课时间：2018年4月24日

星期二第4节

【教学目标】

1、知识与技能：掌握直线，圆，椭圆的伸缩变化，能够利用圆的相关知识解决椭圆问题。

2、过程与方法：灵活运用圆，椭圆，直线的定义概念性质，将椭圆通过伸缩变化变为圆后运用圆几何性质解决点的坐标，面积最值，定值定点等问题。

3、情感态度与价值观：体会数形结合思想，转化与化归思想，函数与方程思想，激情投入，激发学习兴趣，培养学生事物是普遍联系的观点。

【教学重难点】

教学重点：圆锥曲线定值定点问题，面积最值问题。

教学难点：由圆锥曲线几何性质通过伸缩变化后转化为圆与直线问题求解。

授课类型：复习归纳课

教 具：多媒体

【教学方法】讲解法、探究法

【教学过程】

【考点整合】

1直线，圆，椭圆的定义概念性质；

2 圆与直线的几何性质: 3伸缩变化

4 伸缩变化后直线斜率，三角形（四边形）面积，点的坐标，线段长度的变化规律

【预备知识】

思考：

1在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

后的图形。

（1）

（2）

（3）

解：（1）由

得

代入得

（2）由

得

代入得

（3）由

得

代入得

2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=1 解：曲线4x2+9y2=36可以通过

变为曲线

x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，求直线斜率k、三角形面积S满足下列图形的伸缩变换

后分别是什么？

解：

1

【探究新知】

题组1求点的坐标

解:

SAOBcosAOB12331515

所以sinAOB，rsinAOBsinAOB22841AOBcosAOB13

，则cos2AOMcos24228222xMyM8rxM6222在AOM中OM，解得

8xMyMcos2AOM1yM2124

解：通过伸缩变化

即可以变为上面的练习1

,xM6xM2易得

,yM2yM2

题组2 面积最值问题

12rsinAOBsinAOB1

2当sinAOB1时,即AOB等腰直角三角形时面积有最大值

t2所以点到直线距离dr1即t2

22解：SAOB2

解：（1）

（2）通过伸缩变化

即可以变为上面的练习2可得t2

小试牛刀之—秒算答案

（1）2018届江门调研考文科

设椭圆 ：

（

）的离心率

到椭圆两焦点

、

的距离之和为 ．

（Ⅰ）求椭圆 的方程；

，点 在椭圆上，且

（Ⅱ）直线

与椭圆 相交于 、 两点， 是椭圆 上不同于 、 的一点，求△ 面积的最大值．

解：（1）

（2）通过伸缩变化

椭圆 即可以变为：

，直线

即可以变为

此时，易得△ 面积的最大值为2，所以原来△ 面积的最大值．

面积最大值为4 （2）惠州三调

x2y21已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，且抛物线y24x的准线恰好2ab过椭圆的一个焦点. （1）求椭圆C的方程；

（2）过点(0,1)的直线l与椭圆交于M,N两点，

求OMN面积的最大值. 解：（1）

3

（2）通过伸缩变化

椭圆 即可以变为：

点(0,1)

即可以变为

(0,1) 直线

即可以变为

此时，易得△ 面积的最大值为2，所以原来△ 面积的最大值．

面积最大值为26

3题组3 定值定点问题

解：直径所对的圆周角为直角，当1

时MN过圆心

例题3（2018江门一模）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ， ，动点 不在 轴上，直线 、 的斜率之积

．

（Ⅰ）求动点 的轨迹方程；

（Ⅱ）经过点 的两直线与动点 的轨迹分别相交于 、 两点。是否存在常数 ，使得任意满足

的直线 恒过线段 的中点？请说明理由．

解：（1）

椭圆 即可以变为：

，（2）通过伸缩变化

．变为

．即变化后 恒过直径AB中点即圆心， 小试牛刀之—秒算答案

（1）2018届9月月考题

已知圆F1:x1y216，定点F21,0，A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点. （Ⅰ）求P点的轨迹C的方程；

（Ⅱ）四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线EG，FH过原点O，2

4

3若kEGkFH，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值. 4解：（1）

椭圆 即可以变为：

（2）通过伸缩变化

3kEGkFH．变为

．四边形EFGH的面积为定值为2,则伸缩变化4前四边形EFGH的面积为定值为43,

（2）山西高考考前适应

【训练1】

(2015·郑州模拟)已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上2的点到焦点的距离的最小值为2－1，离心率为e＝2. 解：（1）

（2）通过伸缩变化

椭圆 即可以变为：

3伸缩变化后四边形OAPB为棱形面积为定值为，则伸缩变化前四边形EFGH26的面积为定值为

2【课堂小结】

1圆，椭圆，抛物线的定义概念性质

2 几何性质:

3对于椭圆中哪些情况可用伸缩变化变成圆来做，为什么可用？

4 如何命制一个有关解析几何面积最值，定值定点的题

【布置作业】

x2y2（1）已知椭圆：221（ab0）的焦距为4，且经过点P(2

, 2)．

ab

（Ⅰ）求椭圆的方程；

AB（Ⅱ）A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线

l

经过M(0

, 1)，求O面积的最大值（O为坐标原点）．

（2）请你利用圆的相关知识命制一个关于直线与椭圆相交的面积最值或者定值定点的题目，让你旁边的同学解

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