小结教学设计与反思

§第一章

集合与函数小结

章节知识网络

知识点梳理: 1．在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”．

2．对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式(组)的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或Venn图的直观性帮助判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用Venn图表示，容易被忽视．如在关系式B⊆A中，易漏掉B＝∅的情况．

3．函数与映射的联系与差异：映射的原象集和象集可以是数集也可以是其他集合，函数的定义域和值域是非空的数集．映射是函数的推广，函数是映射的特例．

4．相同函数的判定方法：(1)定义域相同；(2)对应法则相同(两者必须同时具备)．但是由于值域是由定义域和对应法则完全确定的，因此，当定义域、对应法则、值域三者中有一个不相同时，就可以判定不是同一个函数．

5．函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域．常涉及到的依据为：(1)分母不为0；(2)偶次根式中被开方数不小于0；(3)对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；(4)零指数幂的底数不等于0；(5)实际问题要考虑实际意义等．

1

6．函数值域的求法：(1)观察法；(2)配方法(二次或四次)；(3)判别式法；(4)换元法；(5)函数的单调性法．

7．函数的解析式的求法：(1)定义法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)配凑法；(5)消去法；(6)特殊值法．

8．单调性的判定方法：(1)设x1，x2是所研究区间内任意两个自变量，且x1

9．奇偶性的判定方法：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)判断f(－x)与±f(x)的相等或不等．

10．函数的图象的作法

(1)描点法：①列表；②描点；③用光滑曲线连线．

(2)变换作图法：

①平移：y＝f(x)

y＝f(x－a)；

y＝f(x)

y＝f(x)＋b. ②对称：y＝f(x)

y＝－f(x)；

y＝f(x)

y＝f(－x)；

y＝f(x)

y＝－f(－x)．

保留x轴上方图象，再把保留y轴右边的图象，再把③翻折：y＝f(x)――→y＝|f(x)|；

y＝f(x)――→y＝f(|x|)．

x轴下方图象对称到上方y轴右边图象对称到y轴左边典型范例剖析

一、集合的运算

集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏．

【例1】

已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3} (1)若(∁RA)∪B＝R

，求a的取值范围．

(2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R

且A∩B＝. 解析

(1)∵A＝{x|0≤x≤2}，

∴CRA＝{x|x<0或x>2}．

∵(CRA)∪B＝R. a≤0，∴∴－1≤a≤0.

a＋3≥2.关于原点对称关于x轴对称关于y轴对称向右平移a个单位向上平移b单位

(2)∵(∁RA)∪B＝R，

∴－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，

∴A⊆B，这与A∩B＝矛盾．即这样的a不存在．

二、函数的概念

函数的概念考查主要是对函数三要素：定义域、值域、对应法则的考查，其中定义域是研究函数任何问题的前提条件，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．

【例2】

求下列函数的定义域和值域：

2

3x＋2(1)y＝

(2)y＝x＋2x－1. x－2解

(1)由x－2≠0，得函数定义域为{x|x∈R，且x≠2}，

3x＋23x－2＋888∵y＝＝＝3＋，其中≠0，∴y≠3，

x－2x－2x－2x－23x＋2∴y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}，

x－211(2)由2x－1≥0，得x≥，即所求函数定义域为x|x≥2，

2u2＋1设u＝2x－1，则u≥0，∴x＝，

2u2＋1111∴y＝＋u＝u2＋u＋＝(u＋1)2，

22221∵u≥0，∴y≥. 21∴函数y＝x＋2x－1的值域为y|y≥2. 三、函数的性质

函数性质的研究包括：函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，从命题形式上看：抽象函数、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．

ax2＋25【例3】

已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. 33x＋b(1)求实数a，b的值；

(2)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．

解

(1)由已知f(x)是奇函数，

∴对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)，

a－x2＋2ax2＋2即＝，

3－x＋b－3x＋b∴(ax2＋2)(3x＋b)＝(－3x＋b)(－ax2－2)，

∴3ax3＋abx2＋6x＋2b＝3ax3－abx2＋6x－2b，

ab＝－ab，由恒等式的性质，得∴b＝0. 2b＝－2b.

a×22＋255∵f(2)＝，∴＝，∴a＝2. 333×22x2＋2即a＝2，b＝0，此时f(x)＝. 3x2x2＋222(2)由(1)知f(x)＝＝x＋，

3x33xf(x)在(－∞，－1]上是增函数，在(－1,0)上是减函数，

3

证明如下：

22222211x1＋－x2＋＝(x1－x2)＋－

对任意的x11，

∴x1x2－1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

所以函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数．

②当－1

x1－x2<0,00，即f(x1)>f(x2)．

所以函数f(x)在(－1,0)上是减函数．

四、函数图象及其应用

函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于正确画出图象．

【例4】

设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．

(1)证明：f(x)是偶函数；

(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；

(3)求函数的值域．

(1)证明

f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，

即f(－x)＝f(x)，且定义域[－3,3]关于原点对称，

∴f(x)是偶函数．

(2)解

当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；

当－3≤x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2. 2x－1－2，0≤x≤3，即f(x)＝

2x＋1－2，－3≤x<0.

根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图所示．

函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，(－1,0]，

(0,1]，(1,3]．f(x)在区间[－3，－1]，(0,1]上

为减函数，在(－1,0]，(1,3]上为增函数．

(3)解

当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，最大值为f(3)＝2；

当－3≤x<0时，

函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，

最大值为f(－3)＝2.故函数f(x)的值域为[－2,2]．

五、数形结合思想

数形结合思想是数学重要的思想方法之一，数形结合能将抽象的问题直观化，形象化，能使问题灵活直观

4

地获解，使问题化难为易，化抽象为具体，数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要方法，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．

312【例5】

对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．

2231解析

首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者2231是指对某个区间而言，函数f(x)表示－x＋3，

x＋，x2－4x＋3中最大的一22个．如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．

从图象观察可得函数f(x)的表达式：

x24x3,(x0)x3,(0x1)f(x)3

f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低1x,(1x5)222x4x3,(x5)点是点B(1,2)，所以函数f(x)的最小值是2. 答案

2 六、直击高考

1.(2011·北京高考)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是(

)．

A．(－∞，－1]

C．[－1,1]

B．[1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪[1，＋∞) 解析

由P∪M＝P，有M⊆P，∴a2≤1，

∴－1≤a≤1，故选C. 答案

C 2. (2009·陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有(

)．

A．f(3)

B．f(1)

D．f(3)

对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有f(x2)f(x1)0，则x2x1f(x2)f(x1)0，即x2－x2与f(x2)－f(x1)异号，

x2x1∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，

∴f(－2)＝f(2)，∴f(3)

)．

5 13

12121212，

B.，

C.，

D.，

A.3333232311212解析

法一

当2x－1≥0，即x≥时，∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴2x－1<，即x<，∴≤x<.当2x－233231111<0，即x<时，由于f(x)是偶函数，f(x)在(－∞，0]上单调递减，f3＝f－3，

211112∴2x－1>－，即

根据函数的奇偶性和单调性作示意图．数形结合可知，由f(2x1)f()，得－<2x－1<，解33得13

6 3