2.2.1 函数的单调性国家优质课一等奖

0轮复习——

函数图象与性质的综合应用(1) 一、复习回顾

问题

函数的单调性与奇偶性的定义分别是什么？

【板书】1．定义域！

2．单调性(增)

x1＜x2f(x1)＜f(x2)，画两个示意图，指明图象特点，强调任意性，强调“函数值的大小关系与自变量的大小关系相互转化”

3．奇偶性

偶函数：f(－x)＝f(x)f(－x)－f(x)＝0，画示意图；

奇函数：f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0，画示意图，重点强调定义域

二、数学应用

例1

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝0，f(x)在区间(0，＋∞)上单

f(x)－f(－x) 调递增，则不等式＜0的解集为________．(－1，0)∪(0，1) x这几天我们复习了函数的单调性与奇偶性，本节课我们研究如何解决与这两个性质有关的综合问题．

请同学们回顾一下单调性与奇偶性的定义(贾琳、王安菲)：

单调增函数：定义域A，区间IA．I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，f(x)在I上是单调增函数．反过来，如果f(x)单调递增，且f(x1)＜f(x2)，那么x1＜x2，因此，单调性可以对…转化．图象特点．

奇偶性：定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(x)是偶函数．定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数．图象特点．

函数单调性与奇偶性的综合，多考查解不等式的问题．我们来看课前练习中的第3题．(黄志宇)板书并分析．

小结：首先，定义域关于数0对称．其次，本题给出了抽象函数的性质，可以画示意图求解．最终转化为函数值的大小关系，并用单调性处理．奇函数在关于数0对称的两个区间上的单调性相同，偶函数则相反．(范江藤子) 画示意图无非用直线或曲线，选最简单的函数模型，如奇函数可选x－1，x＞0，1f(x)＝(x－也典型)偶函数可选f(x)＝|x|，或f(x)＝x2．

xx＋1，x＜0．解

(黄志宇)

【板书】几何：画出示意图；代数：当x＞0时，f(x)＜0＝f(1)x＜1；当x＜0时，f(x)＞0＝f(－1)x＞－1 【例1不纠缠0，本身不等式中无意义】

本题的四个要素：奇偶性、已知的函数值、单调性、所求解的不等式．如果对这些要素中的几个进行改变，可以得到什么呢？

例如，将f(x)改为R上的偶函数？第四个不妨就改为f(x－1)＜0．单调区间为方便，左闭右开．(程逸宁) 这是改了奇偶性和所求不等式，偶函数关键是比较自变量与0的差的绝对值．

能不能改函数值？

将f(－1)＝0中0改为1，自然不等式右端也要改为1，这是一个函数值，于是我们可以利用单调性将函数值的大小关系与自变量的大小关系转化．(周柳彤) 分组讨论一下，你能否再提出几个变式呢？

变式1

已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－1)＝0，f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(x－1)＜0的解集为________．(0，2) 解

－1＜x－1＜10＜x＜2．

【板书】几何：画出示意图

代数：f(x－1)＜0＝f(1)＝f(－1)－1＜x－1＜1|x－1|＜1

变式2

已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－1)＝1，f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(x－1)＜1的解集为．(0，2)

【板书】

代数：f(x－1)＜1＝f(1)＝f(－1)－1＜x－1＜1|x－1|＜1

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变式3

已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，1则不等式f(2x)＜f(x－1)的解集为________．(－1，)

31解

|2x|＜|x－1|，分类讨论法或平方法，解得－1＜x＜．

3【板书】几何：画出示意图；代数：f(x－1)＜f(2x)|2x|＜|x－1|

变式4

已知f(x)是定义在区间(－1，1)上的奇函数，且f(x)在定义域上单调递减，2则不等式f(x－1)＋f(2x－1)＜0的解集为________．(，1)

3解

由f(x－1)＋f(2x－1)＜0，得f(x－1)＜－f(2x－1)＝f(1－2x)，

2由

－1＜1－2x＜x－1＜1，解得＜x＜1．

3【板书】几何：画出示意图；代数：f(x－1)＜f(1－2x)－1＜1－2x＜x－1＜1

规律方法

1．不等式的形式：f(a)与某个值比较，f(a)与f(b)比较，f(a)＋f(b)与0比较．

2．思路：解有关抽象函数的不等式的关键是脱去f

，转化为具体不等式求解．抽象→具体．

利用函数的奇偶性处理表达式的符号问题；利用函数的单调性解决“f

”．

3．思想方法：数形结合．

以数解形，利用函数性质画出图象；

以形助数，利用图象研究函数的性质．

例2

已知函数f(x)＝x3，则不等式f(x＋1)＋f(－2x)＜0的解集为________．

(1，＋∞)

规律方法

1．函数的性质可以明确告知，也可以通过函数图象或解析式得到．

2．具体→抽象

变式

已知函数f(x)＝ln(1－|x|)＋1________．(0，)

32 / 3 直接给出函数值的大小关系．(朱蕴文)

分类讨论：－|x－1|＜2x＜|x－1|，

先解2x＜|x－1|:若x≥1，则2x＜x－1，无解；若x＜1，则2x＜11－x，即x＜；再解－|x－1|＜2x:若x≥1，则1－x＜2x，即x≥1；若x3＜1，则x－1＜2x，即－1＜x＜1，故x＞－1；取并集即可

由奇偶性处理符号

由单调性脱去f 特别注意函数的定义域！

(谢成洋)

例

变1 变2 变3 变4 奇偶性

函数值

单调性

形

数

具体的不等式我们有相应的方法，有时候解得比较复杂，因此可以考虑利用函数模型的性质，去解决更一般的不等式．

具体函数一般化．【板书】辩证观点(吕张诗宜)

解

定义域为(－1，1)．f(x)在R上是偶函数，且在[0，＋∞)上单调1减，应有－1＜x＜1，－1＜2x－1＜1，且|x|＜|2x－1|，解得0＜x＜．

31，则不等式f(x)＞f(2x－1)的解集为1＋x2

三、巩固练习

1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a四、课堂小结

1．解不等式：

奇偶性处理表达式的符号，单调性处理“f”．

13－满足f(2|a1|)＞f(－2)，则a的取值范围是________．(2016天津)(，)

22

2．思想方法：

解

f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单画个图看一看！函数有哪些性质？——数形结合．

抽象函数具体化，具体函数一般化——辩证思考．

1－－调递减，则f(2|a1|)＞f(－2)＝f(2)，因此2|a1|＜2＝22，又y＝2x是增函数，思考

已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当0≤x＜3时，f(x)＝113所以|a－1|＜，解得＜a＜．

2222．已知函数f(x)＝x3＋x．若对任意的m∈[－2，2]，都有f(mx－2)＋f(x)＜0成2立，则实数x的取值范围是________．(－2，)

3解

奇函数f(x)在R上单调增，故本题等价于f(mx－2)＜－f(x)＝f(－x)，即对任意的m∈[－2，2]，都有mx－2＜－x，即xm＋x－2＜0．令f(m)＝xm＋x－2，由2f(－2)＜0，f(2)＜0，解得－2＜x＜．

31|x2－2x＋|，若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，21则实数a的取值范围是________▲．(2014江苏，13)(0，)

211解

作出函数f(x)＝|x2－2x＋|，x∈[0，3)的图象，可见f(0)＝．当x＝22171时，f(x)＝，f(3)＝．方程f(x)－a＝0在[－3，4]上有10个零点，即22函数y＝f(x)和图象与直线y＝a在[－3，4]上有10个交点．由于函数f(x)1的周期为3，因此直线y＝a与函数f(x)＝|x2－2x＋|，x∈[0，3)的交点应21该有4个，即有a∈(0，)．

2

五、课后作业

0轮同步．

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