3.4.1 函数与方程教学设计第二课时

第9课时

函数与方程

第9课时

函数与方程

一．教学课题

函数与方程

二．教学目标

1.理解方程的零点；

2.会证明或求方程的零点

3.已知方程零点的性质，求参的取值范围；

4.理解二分法求方程的近似解。

三．重点、难点

1.已知方程零点的性质，求参数的取值范围。

2.二分法求方程的近似解。

四．教学过程

复习：函数与方程、函数与不等式的联系。

一．函数的零点

（一）定义

使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的零点。（举例说明）

注意：1.函数的零点是一个实数，不是点；

2.（1）函数yf(x)的零点方程f(x)0的根；

（2）函数yf(x)的零点函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标；

一句话：零点——根——横坐标

3.研究零点的本质：研究方程f(x)0根的情况；研究函数yf(x)与x轴的交点情况

一句话：有怎样的零点，就有怎样的根，怎样的交点。

练习：

1．求证：二次函数y2x23x7有两个不同的零点。

2．判断函数f(x)x22x1在区间2,3上是否存在零点。

提问：

根据解法2，你有什么感悟？

（二）★结论（根的存在性理论）

函数yf(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，若f(a)f(b)0，则函

数yf(x)在区间a,b上有零点。

注意：1。结论的前提条件是函数图象是不间断（连续）的；

2．结论中在区间a,b上有零点，指的是至少有一个零点。

即存在acb,使得f(c)0。

判断正误：

函数yf(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，若函数yf(x)在区间

1

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（

）

a,b上有零点，则f(a)f(b)0。提问：如何修改使之正确？

函数yf(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，且是单调函数，若函数yf(x)在区间a,b上有零点，则f(a)f(b)0。

提问：再如何修改使之更严谨？

3．函数yf(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，且是单调函数，函数yf(x)在区间a,b上有唯一零点f(a)f(b)0。

4．研究函数yf(x)零点的方法：

（1）研究方程f(x)0根的情况；（数）

（2）研究函数yf(x)的图象与x轴的交点情况；（形）

（3）根的存在性理论。（数、形）

（三）例题：

1.求证：函数f(x)x3x21在区间2,1上存在零点。

练习：教材第76页：

1、2 2．选择、填空题

（1）函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是

；

（2）若函数f(x)x2axb的零点是2和4，则a（3）函数f(x)x32x2x2的零点个数是

个；

（4）函数f(x)x2xa恰有三个零点，则实数a的取值范围是

；

（5）已知二次函数yf(x)满足f(3x)f(3x)，函数yf(x)的两个零点为2;b；

x1,x2，则x1x2；

（6）函数yax2axc(a0)的零点为1,2，则满足y0的x的取值范围是（

）

A.1,2

B.,12,

C. ,1

D. 2,

4的零点个数是

x2（8）函数f(x)lnx的零点所在的大致区间是（x（7）函数f(x)x

2 ）

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A.1,2

B.2,3

C.e,3

D.e,

11（9）设f(x)x3bxc是1,1上的增函数，且f()f()0，则方程f(x)0

22在1,1内（

）

A.可能有3个实数根

B.可能有2个实数根

C.有唯一实数根

C。没有实数根

（10）函数ylog2x1的零点有

个。

（11）已知函数yf(x)在定义域内是单调函数，则方程f(x)c(cR,c为常数）的解的情况为（

）

A.有且只有一个解

B.至少有一解

C.至多有一个解

D.可能无解，可能有一个解或多个解

（12）函数f(x)x2(m22)xm在1,1上的零点个数为（

）

A.0个

B。1个

C.2个

D.不确定

（13）二次函数f(x)x2pxq的零点为1和m，且1m0，那么p,q满足的条件是（

）

A.P0且q0

B. P0且q0

C. P0且q0

D. P0且q0

(14)已知函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则（

）

A.b,0

B. b0,1

C. b1,2

D. b2,

3．解答题

（1）求证：方程4x3x150在1,2内有唯一实数解。

一元二次方程根的分布

（2）求实数m的范围，使关于x的方程x22xm10。

①有两个负根；

②有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；

③有两个实根，且都比1大。

（3）关于x的方程x22txt210的两个实根都在区间2,4内，求实数t的取值范围。

（4）关于x的方程3x25xa0的一个根大于2而小于0，另一个根大于1而小于

3

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3，求实数a的取值范围。

（5）若函数f(x)x2a22x5a3在区间1,1内恒有一个零点，求实数a的取值范围。

（6）已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a。如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围。

二．用二分法求方程的近似解

引例：我们也来参加一次幸运52。

请同学们猜一下手机价格。并感悟猜测价格的过程。我们是如何一步一步逼近商品的准确价格的。

（一）例题：解方程lgx3x

方程lgx3x的解就是函数ylgx与y3x的图象的交点横坐标x0。

（教师）提问：你能求出两个函数图象交点的横坐标（方程的解）x0吗？

（学生）回答：不能。

（教师）提问：你能知道两个函数图象交点的横坐标（方程的解）x0的大致范围吗？

（学生）回答：能，x02,3。

（教师）提问：你能严密证明两个函数图象交点的横坐标（方程的解）x02,3吗？

学生如果不能回答,教师可以引导。

设f(x)lgxx3

方程lgx3x的解就是函数f(x)lgxx3的零点。

f(2)0,f(3)0x02,3

（教师）提问：你能把方程的根x0限制在更小的区间内吗？

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学生如果有问题可以，教师可以引导。

f(2.5)0,f(3)0x02.5,3，

f(2.5)0,f(2.75)0x02.5,2.75，

f(2.5)0,f(2.625)0x02.5,2.625，

你能求出该方程的近似解（精确到0.1）吗？

f(2.5625)0,f(2.625)0x02.5625,2.625

因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x02.6。

教师口述：像这样求方程近似解的方法，叫做二分法。

（教师）提问：

（二）用二分法求方程近似解的步骤：（精确到）

1．从非常规方程的角度确定区间a,b；

2．证明f(a)f(b)0；

3．求区间a,b的中点c；

4．计算f(c)，判断：

（1）若f(c)0，则c就是函数的零点；

（2）若f(a)f(c)0，则零点x0a,c；

（3）若f(c)f(b)0，则零点x0c,b；

5．判断是否达到近似要求。若达到结束，若没达到，则重复，2~5步。

注意：达到近似要求的标准：两个端点的近似值相同。（题意的近似要求）

练习：（1）求方程2xx4的近似解（精确到0.1）

（2）求方程x33x10的近似解（精确到0.1）

（三）二分法求方程近似解的的适用范围：方程的解不是多重零点。

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