实习作业教案3

1.1.1角的概念的推广

一、学习目标：

1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义

2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法

3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；

二、教学重点、难点

重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法. 难点：终边相同的角的表示. 三、教学方法：

讲授法、讨论法、媒体课件演示

四、内容分析：

本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的. 五、教学过程：

教学教学内容

环节

1、角的概念[0º,360º]

2、从实例出发，发现很多问题中角的范围发生了变化。

师生互动

1、初中是如何定义角的？

从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形

这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是这种定义称为静态定[00,3600]，义，其弊端在于“狭隘”

2、生活中很多实例会不在该范围设计意图

1、引导学生通过切身感受来认识角的概念推广的必要性。

2、为引入正角与负角的概念做好准备。

1 复

习

引

入

[00,3600]

体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º

用心

爱心

专心

经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？

这些例子不仅不在范围

[00,3600]，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）

1、教师用多媒体演示角的形成。

1、使学生通过亲手作图获取

1．角的概念的推广

对新概念的直

⑴“旋转”形成角

观印象。

B

α

A2、教师指导学生依定义分别作出O

大小和方向不同的角，并指出角

一条射线由原来的位置OA，绕的“顶点”“始边”“终边”

着它的端点O按逆时针方向旋转到

另一位置OB，就形成角α．旋转开

2、促使学生从始时的射线OA叫做角α的始边，旋

本质上认识角的形成以及角转终止的射线OB叫做角α的终边，

的分类。

射线的端点O叫做角α的顶点．

突出“旋转” 注意：“顶点”

“始边”“终边”

⑵．“正角”与“负角”“0角”

3、教师设计以下问题组织学生讨

论思考回答：

我们把按逆时针方向旋转所形（1）正角与负角有何本质区别？

成的角叫做正角，把按顺时针方向（2）正角与负角的实际意义有何

旋转所形成的角叫做负角，如图，不同？

3、通过观察旋以OA为始边的角α=210º，β=-150（3）角的概念推广以后应该包括转绝对量的变哪些角？

化学习角的加º，γ=660º，

减运算。

2100

-1500

用心

爱心

专心

2 新

概

念

产

生

6600

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成

⑶意义

用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了

1

角有正负之分

如：=210 =150 =660

2

角可以任意大

实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）

3

还有零角

一条射线，没有旋转

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．

2．“象限角”

4、教师应注意指明：正角与负角是具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好像与正数、负数的规定一样，零角无正负。

4、让学生清楚角的正负规定纯系习惯。

新

概

念

形

成

提出问题，学生讨论回答：

（1）在坐标系中表示角时，对角面直角坐标系中来讨论角

的顶点与角的始边有什么要求？

角的顶点合于坐标原点，角的（2）你对“角的终边落在坐标轴始边合于x轴的正半轴，这样一来，上，则此角不属于任何一个象限”这句话是怎么理解的？

角的终边落在第几象限，我们就说（3）分别举出几个第一、二、三、这个角是第几象限的角（角的终边四象限角的例子。

落在坐标轴上，则此角不属于任何为了研究方便，我们往往在平学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对于新概念的理解与掌握。

用心

爱心

专心

3

一个象限）

例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1180是第Ⅲ象限角，2000是第Ⅱ象限角等

3．终边相同的角 ⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同

⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与引导学生观察分析：

（1）终边相同的角有何特点？ 390=30+360 （相差整数个周角）。

(k1)

（2）试表示出与30终边相同的角。

330=30360 （3）用集合表示终边相同的角请(k1) 注意以下问题：

①kZ；

30=30+0×360 ②是任意角；

③终边相同的角不一定相等，但(k0)

是相等的一定终边相同，终边相 1470=30+4×360 同的角有无数多个，它们相差360的整数倍。

(k4)

1770=305×360

(k5)

⑶结论：所有与终边相同的角

连同在内可以构成一个集合：

S|k360,kZ

即：任何一个与角终边相同的角，k(kZ)个周角的和：

新

概

念

形

成

从观察分析入手，通过具体例子，归纳总结出终边相同的角的表示方法，并初步认识用集合表示终边相同的角需注意的几个问题。

都可以表示成角与整数个周角的和

⑷注意以下四点：

(1)kZ (2) 是任意角；

用心

爱心

专心

4

(3)k360与之间是“+”号，

如k360-30º，应看成00k3600+(-30º)；

(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍

例1

在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角

1、例1主要让学生学会如何在0º到360º范围内，找出与某个角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角。

2、例4主要想解决：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：

(1)120(2)640

(3)95012'解：⑴∵-120º=-360º+240º，

1、选例1的第一小题板书来示范解题的步骤，其他例题请几个学∴240º的角与-140º的角终边生板演，，其他学生在下面自己完相同，它是第三象限角．

成，针对板演同学所出现的步骤⑵∵640º=360º+280º，

上的问题及时给予更正，教师要∴280º的角与640º的角终边相适时引导学生做好总结归纳。

同，它是第四象限角．

⑶∵-950º12’=-3360º+129

º48’，

∴129º48’的角与-950º12’

的角终边相同，它是第三象限角．

例2写出与下列各角终边相同

的角的集合S，并把S中在

360~720间的角写出来：2、例2可以组织学生讨论，然后让学生回答，互相更正，对出现⑴60⑵21

的错误进行纠正讲解，并要求学⑶36314

生熟练掌握这些常见角的集合的解：(1) 表示方法。

讲

解

范

例

|Sk360,kZ即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。在这里：

①kZ；

②是任意角；

③终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终5 S|60k360，kZ

S中在-360º～720间的角是

-1×360º+60º=-280º；

0×360º+60º=60º；

1×360º+60º=420º．

用心

爱心

专心

(2) S|21k360，kZS中在-360º～720间的角是

0×360º-21º=-21º；

1×360º-21º=339º；

2×360º-21º=699º．

(3) 边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍。

S|36314k360，kZS中在-360º～720º间的角是

-2×360º+363º14’=-356º46’；

-1×360º+363º14’=3º14’；

0×360º+363º14’=363º14’．

1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？0º～90º的角是锐角吗？

(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0º～90º的角可能是零角，故课

堂

练

习

它也不一定是锐角．) 总结有关角的集合表示．

锐角：{θ|0º＜θ＜90º}，

0º～90º的角：{θ|0º≤θ≤90º}；

小于90º角：{θ|θ＜90º}．

2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

(1)420º，(2)-75º，(3)855º，(4)-510º．

课堂练习的目的是对本节课的内容进行综合回顾，教师可以放手让学生自行解决，然后教师加以点拨。

用心

爱心

专心

6

(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角) 4200 -750 8550

-5100

本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90º的角”“第一象限角”“0º到90º的角”和“锐角”的不同意义. 归

纳

小

结

从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结。

请学生在教师的叙述回顾中再现本节的核心内容。

课

后

作

业

1.下列命题中正确的是( ) A.终边在y轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角

C.第四象限角一定是负角 本次作业主要涉及以下重要内D.若β＝α＋ｋ·360º（ｋ∈容：

Ｚ），则α与β终边相同

1、正角、负角、象限角的基本概2.与120º角终边相同的角是念；

( ) 2、终边相同的角的概念及终边相A.－600º＋k·360º，ｋ∈Ｚ 同的角的集合表示法。

B.－120º＋k·360º，ｋ∈Ｚ

这些内容对以后的学习有很重要C.120º＋(2k＋1）·180º，ｋ∈的作用，请同学们认真落实完成。

Ｚ D.660º＋k·360º，ｋ∈Ｚ

3.若角α与β终边相同，则一定有( ) A.α＋β＝180º 用心

爱心

专心

通过作业让学生巩固以下三点：

1、角的概念推广后的范围；

2、弄清角的分类；

3、终边相同的角的集合表示法。

7

B.α＋β＝0º C.α－β＝ｋ·360º，ｋ∈Ｚ D.α＋β＝ｋ·360º，ｋ∈Z 4.与1840º终边相同的最小正角为 ，与－1840º终边相同的最小正角是 . 5.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 . 6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度). 7.在直角坐标系中，作出下列各角

(1)360º

(2)720º (3)1080º (4)1440º

8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0º到90º的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90º的角｝．

求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ. 9.将下列各角表示为α＋ｋ·360º（ｋ∈Ζ，0º≤α＜360º）的形式，并判断角在第几象限. (1)560º24′ （2）－560º24′ （3）2903º15′

(4)－2903º15′ （5）3900º （6）－3900º

用心

爱心

专心

8