阅读与思考 集合中元素的个数教案2

第一章

集合与函数概念

1．1

集合

1．1.1

集合的含义与表示

1．下列集合的表示方法正确的是(

) A．{1,2,3,3，} B．{全体有理数} C．0＝{0} D．不等式x－3>2的解集是{x|x>5} 2．下列元素与集合的关系中，表示正确的有(

) ①2∈R；

②3∉Q；

③|－5|∉N*；

④|－2|∈Q；

⑤0∈{0}．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

33．(2014年广东广州一模改编)已知集合A＝

x|x∈Z，且2－x∈Z，用列举法表示集合

A中的元素(

) A.{－1，1}

B.{－1，1，3}

C.{－1，1，3，5}

D.{－1，1，2，3，5}

4．已知集合M＝{1,2，x2}，则x满足(

) A．x≠1且x≠2 B．x≠±1 C．x≠±2 D．x≠±1且x≠±2 5．下列说法正确的是(

) A．若a∈N，b∈N，则a－b∈N

B．若x∈N*，则x∈R

C．若x∈R，则x∈N*

D．若x≤0，则x∉N

6．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三条边，那么△ABC一定不是(

) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形

7．已知集合A＝{1,3，a2}，若3a－2∈A，求实数a的取值集合．

8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是(

) A．9个

B．8个

C．7个

D．6个

y9．已知集合M＝x，x，1与集合N＝{0，x2，x＋y}表示同一个集合，则实数x2015＋y2014＝________.

10．用列举法表示下列集合：

(1)C＝{x∈N|y＝－x2＋6，y∈N}；

(2)D＝{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}；

(3)E＝{(x，y)，x∈N，y∈N|y＝－x2＋6}．

1.1.2

集合间的基本关系

1．用适当的符号填空：

(1)a________{a，b}；

(2){－0.1,0.1}________{x|x2＝0.01}；

(3){围棋，武术}________{2010年广州亚运会新增设中国传统项目}；

(4)∅________{∅}．

2．(2014年福建漳州二模)下面四个集合中，表示空集的是(

) A．{0}

B．{x|x2＋1＝0，x∈R} C．{x|x2－1＞0，x∈R}

D．{(x，y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R} 3．已知集合A，B之间的关系用Venn图可以表示为图K1-1-1，则下列说法正确的是(

) 图K1-1-1

A．A＝{2}

B．B＝{－1,2}

C．A⊆B

D．B＝A

4．以下五个式子中，

①{1}∈{0,1,2}；

②{1，－3}＝{－3,1}；

③{0,1,2}⊆{1,0,2}；

④∅∈{0,1,2}；

⑤∅∈{0}．

错误的个数为(

) A．5个

B．2个

C．3个

D．4个

5．(2012年广东广州二模)已知集合A满足A⊆{1,2}，则集合A的个数为(

) A．4个

B．3 个

C．2个

D．1个

6．设A＝{x|－1a}，若AB，则实数a的取值范围是(

) A．{a|a≥3}

B．{a|a≤－1} C．{a|a>3}

D．{a|a<－1} 7．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________. 8．判断下列各组中集合A与B的关系：

(1)A＝{x|0

(2)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0}．

9．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．

10．已知A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，B⊆A，求实数a的取值范围．

1.1.3

集合的基本运算(1)

1．(2013年福建)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为(

) A．2个

B．3个

C．4个

D．16个

2．设集合M＝{m∈Z|－3

) A．{0,1}

B．{－1,0,1} C．{0,1,2}

D．{－1,0,1,2} 3．已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝(

) A．{2,1}

B．{x＝2，y＝1} C．{(2,1)}

D．(2,1) 4．若集合A＝{x|－2

) A．{x|－1

B．{x|－2

D．{x|0

) A．N⊆M

B．M∪N＝M

C．M∩N＝N

D．M∩N＝{2} 6．设A＝{x|x＝5k＋1，k∈N}，B＝{x|x≤6，x∈Q}，则A∩B＝(

) A．{1,4}

B．{1,6} C．{4,6}

D．{1,4,6} 7．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}．若A∩B＝{3}，求实数a的值．

8．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数为(

) A．57个

B．56个

C．49个

D．8个

9．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．

(1)9∈A∩B；

(2){9}＝A∩B.

10．已知A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|x＞a}．

(1)若A∩B≠A，求实数a的取值范围；

(2)若A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．

1.1.4

集合的基本运算(2)

1．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合M＝{0,3,5}，N＝{1,4,5}，则M∩(∁UN)＝(

) A．{5}

B．{0,3} C．{0,2,5}

D．{0,1,3,4,5} 2．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，∁UB∩A＝{9}，则A＝(

) A．{1,3}

B．{3,7,9} C．{3,5,9}

D．{3,9} 3．已知全集U＝R，则能正确表示集合M＝{－1,0,1}和集合N＝{x|x2＋x＝0}间的关系的韦恩(Venn)图是(

) 4．已知U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则(

) A．M∪N＝U

B．M∩N＝{4,6} C．(∁UN)∪M＝U

D．(∁UM)∩N＝N

5．(2011年全国)设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U(M∩N)＝(

) A．{1,2}

B．{2,3}

C．{2,4}

D．{1,4} 6．设集合U＝{x∈N|0

) A．{1,2,4}

B．{1,2,3,4,5,7} C．{1,2}

D．{1,2,4,5,6,8} 7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}．求实数m的值．

8．若U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}．则∁U(A∪B)＝________. 9．已知集合M＝{x|y＝3－x2}，N＝{x||x＋1|≤2}，且M，N都是全集I的子集，则图1-1-2的韦恩图中阴影部分表示的集合为(

)

图1-1-2

A．{x|－3≤x≤1}

B．{x|－3≤x≤1} C．{x|－3≤x<－3}

D．{x|1

10．向50名学生调查对事件A，B的态度，有如下结果：赞成事件A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成事件B的比赞成事件A的多3人，其余的不赞成；另外，对事件A，B都不赞成的学生人数比对事件A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人．问对事件A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

1.2

函数及其表示

1．2.1

函数的概念(1)

1．下列选项中，可作为函数y＝f(x)的图象的是(

)

2．下列两个函数完全相同的是(

) A．y＝x0与y＝1

B．y＝(x)2与y＝x

C．y＝|x|与y＝x

D．y＝33与y＝x

3．下列式子中：

①y＝x，x∈{1,2,3}；②y＝±x；③f(x)＝1；④y＝2±x2；⑤y＝其中表示y是x的函数的有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

x2－14．设f(x)＝2，则f(2)＝(

) x＋133A．1

B．－1

C.

D．－

5525．已知f(x)＝x＋1，则f[f(－2)]＝(

) A．2

B．5

C．10

D．26 16．下列函数中，与函数y＝3定义域相同的函数为(

) x1A．y＝|x|

B．y＝

xC．y＝x0

D．y＝x

7．下列各组函数是否表示同一个函数？

(1)f(x)＝|x|，φ(b)＝b2；

(2)y＝x2，y＝(x)2；

(3)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2.

1. x2－x

8．如果f(x)＝ax－2，a>0，且f[f(2)]＝－2，那么a的值为________．

9．建造一个容积为8000立方米，深为6米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元，把总造价y(单位：元)表示为池底的一边长x(单位：米)的函数，则函数表达式为____________________．

2

10．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就减少5件，问他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最大？最大利润是多少？

1.2.2

函数的概念(2)

1．函数y＝x＋－x的值域是(

) A．{y|y≥0}

B．{y|y>0} C．{0}

D．R

2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}, 则其值域为(

) A．{－1,0,3}

B．{0,1,2,3} C．{y|－1≤y≤3}

D．{y|0≤y≤3} 3．函数y＝1－x＋x的定义域为(

) A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}

C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1} 4．定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为(

) A．[2a，a＋b]

B．[0，b－a] C．[a，b]

D．[－a，a＋b] 5．函数y＝2－－x2＋4x的值域是(

) A．[－2,2]

B．[1,2] C．[0,2]

D．[－2，2] x＋16．设f(x)＝2的定义域为T，全集U＝R，则∁UT＝(

) x－3x＋2A．{x|x≤1或x≥2} B．{1,2}

C．{－1,1,2} D．{x|x<1或12} f2x7．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，求函数g(x)＝的定义域．

x－1

8．函数f(x)＝4－x－x－4的定义域是________．

2225－，－4，则实数m的取值范9．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为4围是____________．

10．求下列函数的值域：

3x＋2(1)y＝；

(2)y＝5＋4x－x2. x－2

1.2.3

函数的表示法

11．函数y＝1－的图象是(

) x－1

2．某学生从家里到学校，因为怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，以纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则图中符合此学生走法的是(

)

3．已知函数f(x－1)＝x－3，则f(2)的值为(

) A．－2

B．6 C．1

D．0 4．设f(x＋2)＝2x＋3，则f(x)＝(

) A．2x＋1

B．2x－1 C．2x－3

D．2x＋7 x＋15．已知f(x)＝(x≠±1)，则f(x)·f(－x)＝______. x－16．已知f(x)与g(x)分别由下表给出：

x 1

2

3

f(x)

4

3

2

x g(x)

1

3

2

1

3

4

2

4 1

4 2 那么f[g(3)]＝________. 7．已知f(x＋1)＝x2－1，求f(x)的表达式．

48．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________. 1－x9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：

x 1

2

3 f(x)

1

3

1

x 1

2

3 g(x)

3

2

1 则f[g(1)]的值为________；满足f[gx]>g[fx]的x的值为________．

10．(1)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求函数f(x)的解析式；

(2)定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求函数f(x)的解析式．

1.2.4

分段函数及映射

1．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤4}，下列对应关系不能构成从集合A到集合B的映射的是(

) 3A．y＝2x

B．y＝x

2C．y＝x2

D．y＝2x－1 21－x

x≤1，2．设函数f(x)＝2则f(2)的值为(

) x＋x－2

x＞1，1A．4

B．－3

C.

D．0 43．下列各个对应中，构成映射的是(

)

A

B

C

D

|x－1|－2，|x|≤1，1＝(

) 4．设f(x)＝1则ff22，|x|>1，1＋x14925A.

B.

C．－

D.

213541x＋2

x≤－1，25．在函数f(x)＝x

－1

x≥2

中，若f(x)＝3，则x的值为(

) A.3

B．±3 C．3 3

D．3－3 6．设集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x＋y，xy)，则：

(1)(－2,3)在f作用下的象是__________；

(2)(2，－3)的原象是__________．

7．如图K1-2-1，根据函数f(x)的图象写出它的解析式．

图K1-2-1 ba≥b，8．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是__________．

aa＜b，

9．某商场饮料促销，规定：一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠．若此饮料只能整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x与所支付的费用y之间的函数关系式．

10．如图K1-2-2，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2a，BC＝a，∠BAD＝45°，作直线MN⊥AD交AD于点M，交折线ABCD于点N，设AM＝x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域．

图K1-2-2

1.3

函数的基本性质

1．3.1

函数的单调性

1．若一次函数y＝kx＋b(k≠0)在(1，＋∞)上是增函数，则点(k，b)在直角坐标平面的(

) A．上半平面

B．下半平面

C．左半平面

D．右半平面

2．已知函数f(x)＝8＋2x－x2，下列表述正确的是(

) A．f(x)在(－∞，1]上是减函数

B．f(x)在(－∞，1]上是增函数

C．f(x)在[－1，＋∞)上是减函数

D．f(x)在[－1，＋∞)上是增函数

3．下列函数在(0,2)上是增函数的是(

) 1A．y＝

B．y＝x2－2x＋1 xC．y＝－x

D．y＝2x

4．下列说法正确的有(

) ①若x1，x2∈I，当x1

②函数y＝x2在R上是增函数；

1③函数y＝－在定义域上是增函数；

x1④y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

xA．0个

B．1个

C．2个

D．3个

5．函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是(

) A．a≥5

B．a≥3 C．a≤3

D．a≤－5 16．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图K1-3-1，则关于函数y＝的单调区间fx表述正确的是(

)

图K1-3-1

A．在[－1,1]上单调递减

B．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增

C．在[5,7]上单调递减

D．在[3,5]上单调递增

7．用定义证明：函数f(x)＝ax＋b(a<0，a，b为常数)在R上是减函数．

b8．函数y＝ax和y＝在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上的单x调性为__________．

9．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)＞f[8(x－2)]的解集是__________．

a＋1x＋1910．若函数f(x)＝，且f(1)＝3，f(2)＝. bx2(1)求a，b的值，并写出f(x)的表达式；

(2)求证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数．

2

1.3.2

函数的最值

21．y＝在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是(

) x11A．1，

B.，1 221111C.，

D.，

24422．函数f(x)的图象如图K1-3-2，则其最大值、最小值分别为(

) 图K1-3-2 233－

B．f(0)，f

A．f，f3223－，f(0)

D．f(0)，f(3) C．f2

2x＋6，

x∈[1，2]，3．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(

) x＋7，

x∈[－1，1，

A．10,6

B．10,8 C．8,6

D．以上都不对

4．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则a的取值范围是(

) A．a<1

B．a≤1

C．a>1

D．a≥1 5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(

) A．90万元

B．60万元

C．120万元

D．120.25万元

16．函数f(x)＝(x∈R)的值域是(

) 1＋x2A．(0,1)

B．(0,1] C．[0,1)

D．[0,1] 7．函数y＝|x2－2x－3|的增区间为_________________________．

8．已知函数f(x)＝x－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是__________．

9．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋3－b(a＞0)在[1,3]有最大值5和最小值2，求a，b的值．

2

110．求函数y＝在区间[2,4]上的最大值和最小值．

1－x

1.3.3

函数的奇偶性(1)

1．下列说法正确的是(

) A．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为奇函数

B．如果一个函数为偶函数，那么它的定义域关于坐标原点对称

C．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数

D．如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为奇函数

2．下列函数是偶函数的是(

) A．y＝－|x|

B．y＝x

C．y＝(x－1)2

D．y＝|x－1| 3．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是(

) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x) C．f(x)·f(－x)≤0 fxD.＝－1 f－x14．函数f(x)＝－x(x≠0)的图象关于(

) xA．y轴对称

B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称

D．直线y＝x对称

5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(

) A．－2

B．－1 C．1

D．2 6．(2011年安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(

) A．－3

B．－1 C．1

D．3 7．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝6，x∈R；

(2)f(x)＝2x2＋7，x∈[－5,4]；

(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|，x∈R；

1－x，x>0，(4)f(x)＝0，x＝0，x2－1，x<0.

x＋a8．(2014年浙江模拟)若函数f(x)＝2(a∈R)是奇函数，则a的值为(

) x＋1A．1

B．0

C．－1

D．±1 9．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，求f(x)的解析式．

2

x＋110．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(1)＝2. ax＋b(1)求a，b的值；

(2)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性．

2

1.3.4

函数的奇偶性(2)

1．下列函数中是偶函数的是(

) A．f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2) B．f(x)＝|3x－1|－|3x＋1| C．f(x)＝－x2＋1，x∈(－2，＋∞) D．f(x)＝x4

2．已知f(x)在R上是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(－1)＝(

) A．－2

B．2

C．－98

D．98 13．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们有相同的定义域，且f(x)＋g(x)＝，则(

) x－121A．f(x)＝2

B．f(x)＝2

x－1x－12xxC．f(x)＝2

D．f(x)＝2

x－1x－14．(2011年广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(

) A．f(x)＋|g(x)|是偶函数

B．f(x)－|g(x)|是奇函数

C．|f(x)|＋g(x)是偶函数

D．|f(x)|－g(x)是奇函数

x5．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(

) 2x＋1x－a123A.

B.

C.

D．1 2346．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．

7．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f(2a2＋a＋1)

8．y＝f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋ax，且f(2)＝6，则当x≥0时，f(x)的解析式为________________________________________________________________________．

9．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，求此函数的解析式f(x)．

2

ax＋b1＝2. 10．已知函数f(x)＝2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f251＋x(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；

(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.

1.3.5

二次函数性质的再研究

1．二次函数y＝2(x－1)2＋3的图象的顶点坐标是__________，最小值是__________，单调递增区间是______________，单调递减区间是______________．

x1＋x22．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若f(x1)＝f(x2)(其中x1≠x2)，则f2＝(

) 4ac－b2bbA．－

B．－

C．c

D.

2aa4a3．二次函数y＝2x2＋4x－1的定义域为[0,2]，最小值记作m，最大值记作M，则有(

) A．m＝－3，M＝15

B．m＝－1，M＝15 C．m＝－3，M不存在

D．m＝－1，M＝17 4．二次函数y＝x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab的图象的顶点在x轴上，且a，b，c为△ABC的三边长，则△ABC为(

) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形

5．抛物线的顶点为(0，－1)，在x轴上截取的线段长为4，对称轴为y轴，则抛物线的解析式是(

) 11A．y＝－x2＋1

B．y＝x2－1 442C．y＝4x－16

D．y＝－4x2＋16 6．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(

) A．f(－2)

8．若函数y＝x－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则实数m的取值范围是__________．

9．设函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝__________. 2

10．已知函数f( x

)＝4x－4ax＋a－2a＋2在闭区间[0,2]上的最小值为3，求实数a的取值范围．

22

1.3.6

一元二次不等式

1．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x<0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m＝(

) A．1

B．2 5C．1或

D．1或2 22．已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则M∩N＝(

) A．{x|x＜－2}

B．{x|x＞3} C．{x|－1＜x＜2}

D．{x|2＜x＜3} 3．不等式|x＋1|<3的解集为(

) A．(0,2)

B．(－4,2) C．(－4,0)

D．(－4，－2) 14．函数y＝2的值域是(

) x＋4x＋21－∞，－∪[0，＋∞)

A.21－∞，－∪(0，＋∞)

B.21－∞，－

C.21－，＋∞

D.22x－4x－55．函数y＝2的值域是(

) x－3x－4A．y∈R

B．{y|y≠1，y∈R} 6

y≠1，y≠，y∈RC.y5D．{y|y≠0，y∈R} 6．如果函数f(x)＝(a－3)x2＋(a－3)x＋1的图象在x轴的上方(不含在x轴上)，那么实数a的取值范围是(

) A．(3,7)

B．[3,7] C．[3, 7)

D.[7，＋∞)

x＋2，

x≤0，7．已知函数f(x)＝求不等式f(x)≥x2的解集．

－x＋2，

x>0，

8．已知集合P＝{x|x≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则实数a的取值范围是__________．

2

x＋19．不等式≤3的解集为________________________．

x

10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．

(1)若方程f(x)＝0的两实根一个大于－3，另一个小于－3，求实数a的取值范围；

(2)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求函数f(x)的解析式．

参考答案

课时作业部分

第一章

集合与函数概念

1．1

集合

1．1.1

集合的含义与表示

1．D 2．C

解析：由R，Q，N*的含义，可知：①②正确，③④不正确；又{0}表示元素为0的集合，故⑤正确．故选C. 33．C

解析：要使为整数，故2－x必是3的约数．∴2－x＝－3，－1,1,3，∴x＝2－x5,3,1，－1.故选C. 4．D

5.B 6．D

解析：∵集合中的元素具有互异性，∴a，b，c互不相等．

7．解：由3a－2＝1，解得a＝1，此时a2＝1，集合A中有两个相同的元素，故a≠1；

5由3a－2＝3，解得a＝，满足条件；

32由3a－2＝a，解得a＝1(舍去)或a＝2，满足条件．

5故所求实数a的取值集合为2，3. 8．B y9．－1

解析：由x＝0，x＋y＝1x＝x2，

x＝x＋y，y或x＝0，x＝1，2

x＝1，x＝－1，解得或

y＝0y＝0.

x＝－1，x＝1，经检验，符合题意，不合题意，舍去．

y＝0y＝0∴x2015＋y2014＝－1. 10．解：(1)由y＝－x2＋6，x∈N，y∈N知，当x＝0,1,2时，y＝6,5,2符合题意．

∴C＝{0,1,2}．

(2)由y＝－x2＋6，x∈N，y∈N知，y≤6，当x＝0,1,2时，y＝6,5,2符合题意．

∴D＝{2,5,6}．

(3)点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，

x＝0，x＝1，x＝2，则有

y＝6；y＝5；y＝2.∴E＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．

1．1.2

集合间的基本关系

1．(1)∈

(2)＝

(3)

(4)∈或

2．B 3．B

解析：由Venn图，可知：B⊆A，A＝{－1,2，2}，B＝{－1,2}．故选B. 4．C

解析：①④⑤是集合与集合之间的关系，而使用了元素与集合间的关系符号，故错误；②符合集合相等的定义，故正确；③任何集合是自身的子集，故正确．故选C. 5．A 6．B

解析：在数轴上表示出集合A，则根据题意易知，B正确.

7．1

8．解：(1)将集合A，B在数轴上表示出来，如图D28.∴AB. 图D28

(2)A＝{(x，y)|xy>0}＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}，即集合A表示直角坐标系第一象限和第三象限的点，集合B表示直角坐标系第一象限的点，所以BA. 9．解：由x2＋x－6＝0⇒x＝2或x＝－3，

因此，M＝{2，－3}．

①当a＝2时，得N＝{2}，此时，NM；

②当a＝－3时，得N＝{2，－3}，此时，N＝M；

③当a≠2且a≠－3时，得N＝{2，a}，

此时，N不是M的子集．

故所求实数a的值为2或－3. 10．解：若B＝∅，有a＋1>2a－1，即a<2；

2a－1≥a＋1，若B≠∅，有a＋1≥－2，2a－1≤5，

解得2≤a≤3. 综上所述，实数a的取值范围是a≤3.

1．1.3

集合的基本运算(1) 1．C

2.B x＋y＝3，x＝2，3．C

解析：解方程组得因为集合为点集，所以选C. x－y＝1，y＝1，4．C

解析：∵A＝{x|－2

5．D

6.D 7．解：∵A∩B＝{3}，∴3∈B，∴a＋2＝3或a2＋4＝3(舍去)，∴a＝1. 8．B

解析：集合A的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6的子集有23＝8个，所以集合S共有56个．故选B. 9．解：(1)∵9∈A∩B，∴9∈B且9∈A. ∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3. 当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合题意；

当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不合题意；

当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，符合题意．

综上所述，a＝－3或a＝5. (2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B. 由(1)，得a＝－3或a＝5.但当a＝5时，A∩B＝{－4,9}≠{9}，故a＝5舍去，∴a＝－3. 10．解：(1)如图D29，在数轴上，实数a在－3的右边，可得a≥－3.

图D29

(2)由于A∩B≠∅，且A∩B≠A，

所以在数轴上，实数a在－3的右边且在5的左边，

所以－3≤a＜5.

1．1.4

集合的基本运算(2) 1．B

解析：∵U＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁UN＝{0,2,3}．∴M∩(∁UN)＝{0,3}．

2．D

解析：∵A∩B＝{3}，∴3∈A.∵∁UB∩A＝{9}，∴9∈A.故选D. 3．B

解析：由N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，得NM.故选B. 4．A

解析：∵M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，M∩N＝{4,5}，(∁UN)∪M＝{3,4,5,7}，(∁UM)∩N

＝{2,6}．故选A. 5．D

解析：∵M∩N＝{2,3}，∴∁U(M∩N)＝{1,4}．

6．A 7．解：∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，

代入方程x2＋mx＝0.∴m＝－3. 8．{2,4,8}

解析：U＝{n|n是小于9的正整数}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，则A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，

∴A∪B＝{1,3,5,6,7}．∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．

9．C 310．解：赞成事件A的人数为50×＝30(人)，赞成事件B的人数为30＋3＝33(人)，5如图D30.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B. x设对事件A，B都赞成的学生人数为x，则对事件A，B都不赞成的学生人数为＋1，3赞成事件A而不赞成事件B的人数为30－x，赞成事件B而不赞成事件A的人数为33－x.x＋1＝50，解得x＝21. 依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋3所以对事件A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人．

图D30

1．2

函数及其表示

1．2.1

函数的概念(1) 1．D

解析：对于A，B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x＝0时，有两个y的值相对应；对于D图，每个x都有唯一的y值与之对应．故选D. 2．D

解析：A，B中定义域不同，C中对应关系不同．

3．C

解析：根据函数的定义知①③⑤均表示y是x的函数，②④不表示y是x的函数．故选C. 4．C 5．D

解析：f(－2)＝5, f[f(－2)]＝f(5)＝26. 6．C 7．解：(1)因为φ(b)＝|b|，f(x)＝|x|，虽然自变量用不同的字母表示，但函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一个函数．

(2)y＝x2的定义域是全体实数，而y＝(x)2的定义域是非负数，所以它们不表示同一个函数．

(3)因为y＝1＋x·1－x＝1－x2，所以它们表示同一个函数．

28.

解析：因为f(2)＝2a－2，f[f(2)]＝a(2a－2)2－2＝－2，所以a＝0或a222＝.又因为a>0，所以a＝. 2216 000a800080009．y＝12ax＋＋a(x>0)

解析：根据题意，得池底的另一边长为米，则x36x8000800016 000a8000y＝·6·2a＋6x·2a＋·x·2a＝12ax＋＋a(x>0)．

6x6xx310．解：设每件x元出售，利润是y元．

y＝(x－8)[100－(x－10)×5]＝－5x2＋190x－1200＝－5(x－19)2＋605(x>10)，

故当x＝19，即每件定为19元时，最大利润为605元．

1．2.2

函数的概念(2) 1．C

解析：∵x≥0，－x≥0，∴x＝0，y＝0. 2．A

3.D

4.C

5.C

6.B 7．解：因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x≤2，但x≠1，故x∈[0,1)．

2x－4≥0，8．{－2,2}

解析：由得x2＝4，即x＝±2，∴函数定义域为{－2,2}．

24－x≥0，3325x－2－，

9.≤m≤3

解析：∵y＝24225－，－4，

又∵值域为432533∴f＝－，∴∈[0，m]，即m≥. 2422∴f(x)max＝f(0)或f(x)max＝f(m)，

f0≤－4，3即解得0≤m≤3，∴≤m≤3. 2fm≤－4，

3x＋23x－6＋8810．解：(1)方法一：∵y＝＝＝3＋，

x－2x－2x－28由于≠0，∴y≠3. x－23x＋2∴函数y＝的值域是{y|y∈R且y≠3}．

x－23x＋22y＋1方法二：由y＝，得x＝，∴y≠3. x－2y－3(2)∵y＝5＋4x－x2＝－x－22＋9，

显然，y＝5＋4x－x2的最大值是9，

故函数y＝5＋4x－x2的最大值是3，且y≥0，∴函数的值域是[0,3]．

1．2.3

函数的表示法

1．B

2.D 3．B

解析：方法一：令x－1＝t，则x＝t＋1，

∴f(t)＝(t＋1)2－3，∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6. 方法二：∵f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，

∴f(x)＝x2＋2x－2，∴f(2)＝22＋2×2－2＝6. 方法三：令x－1＝2，∴x＝3.∴f(2)＝32－3＝6. 4．B

5.1 6．1

解析：由表，可知：g(3)＝4，∴f[g(3)]＝f(4)＝1. 7．解：方法一：f(x＋1)＝x2－1 ＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1)．

可令t＝x＋1，则有f(t)＝t2－2t，故f(x)＝x2－2x. (f对x实施的运算和对t实施的运算是完全一样的) 方法二：令x＋1＝t，则x＝t－1. 代入原式，有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t. ∴f(x)＝x2－2x. 48．－1

解析：∵f(a)＝＝2，∴a＝－1. 1－a9．1

2 10．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(0)＝c＝1，

∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋(2ax＋a＋b)．

∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x，

2a＝2，a＝1，∴即∴f(x)＝x2－x＋1. a＋b＝0，b＝－1.2fx－f－x＝3x＋1，(2)由

2f－x－fx＝－3x＋1，

解得f(x)＝x＋1.

1．2.4

分段函数及映射

1．D

2.A

3.B

4.B 5．A

解析：当x≤－1时，x＋2≤1；当－1

0≤x2<4；当x≥2时，2x≥4. ∴f(x)＝3，即x2＝3，x＝±3. 又∵－1

(－1,3)或(3，－1) 解析：(1)由题意，对应法则f应将(－2,3)变为(－2＋3，－2×3)，即(1，－6)．

(2)设(2，－3)的原象为(a，b)，则它在f作用下的象是(a＋b，ab)，故有a＋b＝2，且ab＝－3，解得a＝－1，b＝3或a＝3，b＝－1，故(2，－3)的原象是(－1,3)或(3，－1)．

7．解：当0≤x≤1时，f(x)＝2x. 当1

8．(－∞，1]

解析：由题意知，当x≥2－x，即x≥1时，f(x)＝2－x≤1；当x＜2－x，即x＜1时，f(x)＝x＜1.所以f(x)的值域为(－∞，1]．

48×0.9x，

x＝1，48×0.85x，

x＝2，9．解：由题意，可得y＝48×0.8x，

x＝3，48×0.75x，

3

a10．解：作BH⊥AD，点H为垂足，CG⊥AD，点G为垂足，依题意，则有AH＝，23aAG＝，

2①如图D31，当点M位于点H的左侧时，N∈AB，由于AM＝x，∠A＝45°，

图D31 a10≤x≤. ∴MN＝x.∴y＝S△AMN＝x222

aa②如图D32，当点M位于HG之间时，由于AM＝x，MN＝，BN＝x－. 22图D32

3a1aaaa2a∴y＝S直角梯形AMNB＝·x＋x－2＝x－2

③如图D33，当点M位于点G的右侧时，由于AM＝x，MN＝MD＝2a－x，

21a1123a∴y＝S梯形ABCD－S△MDN＝·(2a＋a)－(2a－x)＝－(4a2－4ax＋x2) 22242215a3a

aaa3a综上所述，y＝2x－8，x∈2，2，15a3a，2a.－x＋2ax－，x∈224222a120，，x，x∈22

1．3

函数的基本性质

1．3.1

函数的单调性

1．D

2.B

3.D 4．A

解析：①没有体现任意性；②是先减后增；③在整个定义域内并不是增函数；④不能用并集符号，应改为和．

5．A

解析：本题作出函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2的图象，可知：此函数图象的对称轴是x＝a－1，由图象，可知：当a－1≥4，即当a≥5时，函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4)上是增函数．

6．B 7．证明：设任意的x1，x2∈R，且x1

则f(x1)－f(x2)＝(ax1＋b)－(ax2＋b)＝a(x1－x2)．

∵x10，

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

∴f(x)＝ax＋b(a<0)在R上为减函数．

b8．单调递增

解析：由函数y＝ax和y＝在(0，＋∞)上都是减函数，得a<0，b>0，xb故－>0，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，在(－∞，0)上单调递增．

2a162，

9.7a＋210．(1)解：∵f(1)＝3，∴＝3.

①

b4a＋1＋199又∵f(2)＝，∴＝.

②

22b2由①，②解得a＝1，b＝1. 2x2＋1∴f(x)＝. x(2)证明：设任意x2>x1≥1，

22x22＋12x1＋1则f(x2)－f(x1)＝－

x2x122x22＋1x1－2x1＋1x2x2－x12x1x2－1＝＝. x2·x1x2·x1∵x1≥1，x2＞1，∴2x1x2－1＞0, x1x2＞0. 又∵x1＜x2，∴x2－x1＞0. ∴f(x2)－f(x1)＞0，

即f(x2)>f(x1)．

故函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．

1．3.2

函数的最值

1．A

2.B 3．A

解析：本题为分段函数的最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者．当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10；当－1≤x<1时，6≤x＋7<8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 4．A 5．C

解析：设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，则公司获得利润

L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30. ∴当x＝9或10时，L最大为120万元．故选C. 16．B

解析：∵1＋x2≥1，∴0<≤1.故选B. 1＋x27．[－1,1]和[3，＋∞) 8．(1,3]

解析：由题意知，f(x)在[1，a]内是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴1

∴f(x)max＝f(3)＝5，即3a－b＋3＝5. ∴f(x)min＝f(1)＝2，即－a－b＋3＝2. 3a＝，43a－b＝2，∴得

1－a－b＝－1.b＝.431故a＝，b＝. 4410．解：设任意的x1，x2∈[2,4]，且x1

11f(x1)－f(x2)＝－

1－x11－x21－x2－1＋x1x1－x2＝＝，

1－x1·1－x21－x1·1－x2因为x1，x2∈[2,4]，所以(1－x1)·(1－x2)>0. 又因为x1

x1－x2所以f(x1)－f(x2)＝<0，

1－x1·1－x2所以f(x1)

1所以函数y＝在区间[2,4]上单调递增，

1－x111则ymin＝＝－1，ymax＝＝－. 31－21－4

1．3.3

函数的奇偶性(1) 1．B

2.A

3.D 14．C

解析：∵f(－x)＝－＋x＝－f(x)(x≠0)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)关于原点对称．

x5．C 6．A

解析：f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.故选A. 7．解：(1)∵f(－x)＝6＝f(x)，x∈R，

∴f(x)是偶函数．

(2)定义域x∈[－5,4]，则定义域不关于原点对称，



则f(x)是非奇非偶函数．

(3)∵f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1| ＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，

此时－x<0，∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，

∴f(－x)＝－f(x)；

当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，

f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，

∴f(－x)＝－f(x)；

当x＝0时，f(－0)＝f(0)＝0. 综上所述，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)．

∴f(x)为R上的奇函数．

8．B

解析：f(0)＝0. 9．－x－x4

10．解：(1)函数f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，

－x2＋1x2＋1即＝－，有－ax＋b＝－ax－b，∴b＝0. a－x＋bax＋b2又∵f(1)＝2，∴＝2.∴a＋b＝1.∴a＝1. a＋bx2＋11(2)f(x)＝＝x＋，

xx设任意x1

x1x2x1x2当x11，x1x2－1>0，从而f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)

∴函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数；

同理，当－1f(x2)，

∴函数f(x)在(－1，0)上为减函数．

1．3.4

函数的奇偶性(2) 1．D

2.A 3．B

解析：分别将x，－x代入方程，得到关于f(x)，g(x)的二元方程组1fx＋gx＝，x－11⇒f(x)＝2. x－11fx－gx＝－x＋1

4．A

解析：因为g(x)是R上的奇函数，所以|g(x)|是R上的偶函数，从而f(x)＋|g(x)|是偶函数．故选A. x5．A

解析：方法一：由已知，得f(x)＝的定义域关于原点对称，由于该2x＋1x－a11x≠－且x≠a，知a＝.故选A. 函数定义域为x22方法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

x又f(x)＝2，

2x＋1－2ax－a－x－x1则2＝2在函数的定义域内恒成立，可得a＝. 22x－1－2ax－a2x＋1－2ax－a6．0

解析：f(x＋2)＝－f(x)，

f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0. 7．解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，

可知f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

17a＋2＋>0，

∵2a2＋a＋1＝24815a－2＋>0，

2a2－2a＋3＝2222且f(2a＋a＋1)

∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，

2即3a－2>0，解得a>. 328．－x＋5x

9．解：∵f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称，22∴2a＋ab＝0明显a≠0⇒b＝－2，∴f(x)＝－2x＋2a，且值域为(－∞，4]，∴2a2＝4.∴f(x)＝－2x2＋4. 12f＝，a＝1，2510．(1)解：依题意有解得

b＝0.f0＝0，x∴f(x)＝. 1＋x2(2)证明：设任意－1

1＋x21211＋x2∵－10，从而f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)

(3)解：f(t－1)＋f(t)<0 ⇔f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，

∵函数f(x)在(－1,1)上为增函数，

1∴－1

1．3.5

二次函数性质的再研究

1．(1,3)

3

[1，＋∞)

(－∞，1) x1＋x2b4ac－b2－2．D

解析：f2＝f2a＝4a. 3．B

4.B

5.B 6．D

解析：由已知⇒f(x)开口向上，对称轴x＝2.画出示意图⇒f(3)

7．解：∵函数f(x)＝ax2＋2(a＋4)x＋2(a<0)在[1，＋∞)上单调递减，

2a＋4a＋4∴其对称轴x＝－＝－≤1. 2aa解得a>0(舍去)，a≤－2，即a≤－2. 8．[1,2]

解析：y＝(x－1)2＋2是以直线x＝1为对称轴，开口向上，其最小值为2的抛物线，又∵f(0)＝3，结合图象，易得2≥m≥1.∴m的取值范围是[1,2]．

a＋29．6

解析：由对称轴－＝1，得a＝－4，又[a，b]关于直线x＝1对称，则b＝6. 2ax－2－2a＋2 (0≤x≤2)．

10．解：f(x)＝42a当<0，即a < 0时，f( x ) 在

[0,2]上为增函数，

2

此时

f( x )的最小值为

f( 0 )＝a2－2a

＋2. a<0，由2解得a＝1－2；

a－2a＋2＝3，

0≤a≤4，aa当0≤≤2，即0≤a≤4时，f(x)的最小值为f2＝－2a＋2.由得无解；

2－2a＋2＝3，

a当>2，即a>4时，f(x)在[ 0,2 ]上为减函数，此时f(x)的最小值为f(2)＝a2－10a＋18；

2a>4，由2解得a＝5＋10. a－10a＋18＝3，

综上所述，a的取值集合为{1－2，5＋10}．

1．3.6

一元二次不等式

1．D

2.C

3.B

4.B

5.C

6.C x≤0，x>0，7．解：依题意，得或22⇒－1≤x≤0或0

解析：P＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，P∪M＝P⇒a∈[－1,1]．

1x<0或x≥

9.x210．解：(1)设函数f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，

则f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x. 若方程f(x)＝0的两实根一个大于－3，另一个小于－3，

1只需f(－3)>0，即－

∴f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a＝0. ∵f(x)＋6a＝0有两个相等实根，

1∴Δ＝(4a＋2)2－36a2＝0，解得a＝1或a＝－. 51又∵a<0，∴a＝－. 5163∴函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2－x－. 555