习题2.2公开课教案（教学设计）

2.2.2 《对数函数的图像及其性质》教学设计

怀集一中 高一数学A级 林惠玲

一、教学分析

有了指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图象和性质的研究便水到渠成．

对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)的理解．在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响)是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解．

为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数y＝log2x和ylog1x的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析它们的性质．有条件的学2校也可以利用《几何画板》软件，定义变量a，作出函数y＝logax的图象，通过改变a的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图象和性质．

研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出做一些准备．

二、学情分析

1、学生从初中到高一年级接触到了一些函数和研究函数的方法。

2、学生在学了反函数之后，有了研究新函数的一种新方法，因此，选择这节课让学生自主研究对数函数的性质。学生可以选择描点作图的方法来研究对数函数的图像与性质。

三、教学目标

1．知识与技能：理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实践中的简单应用，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．

2．过程与方法：能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题．认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握求定义域的方法，培养学生的数学应用的意识．

1

3．情感态度与价值观：加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．

四、重点难点

重点：理解对数函数的定义、掌握对数函数的图象和性质。

难点：对数函数的图象和性质的应用。

五、教学手段：多媒体教学

六、教学方法：

1、

启发引导学生思考、分析、实验、探索、归纳；

2、采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法；

3、体现“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法；

4、多媒体演示法。

七、学法

1、对照比较学习法：学习对数函数，处处与指数函数相对照；

2、探究式学习法：学生通过分析、探索，得出对数函数的定义；

3、自主性学习法：通过实验画出函数图像、观察图像自得其性质；

4、反馈练习法：检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。

八、教学过程

导入新课

思路：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2x表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x就是细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log2y.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log2x.这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数．教师点出课题：对数函数及其性质(1)．

新知探究

1 对数函数的定义

1.对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x的自变量，定义域为(0，＋∞)．

(3)根据对数式与指数式的关系，知y＝logax可化为a＝x，由指数的概念，要使a＝x2 yy

有意义，必须规定a＞0且a≠1. (4)因为y＝logax可化为x＝a，不管y取什么值，由指数函数的性质a＞0，所以x∈(0，＋∞)，对数函数的值域为(－∞，＋∞)．

(5)只有形如y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)的函数才叫做对数函数，

理解对数函数的概念应注意的两个方面

(1)对数的底数：对数的底数a＞0且a≠1；

(2)形式上的严格性：对数函数的定义表达式y＝logax中， logax前面的系数必须是1，自变量x在真数位置上，且次数为1次，系数为1，否则不是对数函数．如y＝log23x、y＝log3x都不是对数函数．

例1 下列函数中，哪些是对数函数？

(1)y＝logax(a＞0，且a≠1)；

(2)y＝log2x＋2；

(3)y＝8log2(x＋1)；

(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；

(5)y＝log6x.

探究2 对数函数图像及其性质

提出问题

yy(1)前面我们学习指数函数的时候，根据什么思路研究指数函数的性质，对数函数呢？

(2)前面我们学习指数函数的时候，如何作指数函数的图象？说明它的步骤．

(3)利用上面的步骤，作下列函数的图象：y＝log2x，ylog1x.[

2(4)观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点？

(5)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？

(6)把y＝log2x和ylog1x的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？

2(7)你能证明上述结论吗？

(8)能否利用y＝log2x的图象画出ylog1x的图象？请说明画法的理由．

2活动：教师引导学生回顾需要研究的函数有哪些性质，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，3

渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画的好的部分学生的图象，同时投影展示课本表2-3，及图2.2-1,2.2-2及2.2-3，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究对数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体认识．

讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．

(2)一般是列表、描点、连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象．

(3)列表(学生自己完成)：

x y＝log2x 0.25

0.5

1

－2

－1

0

2

1

2

1

4

2

8

3

16

4

32

5

…

…

ylog1x

20

－1

－2

－3

－4

－5

…

作图1、图2：

图1

图2 (4)通过观察图1，可知y＝log2x的图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象经过点4

(1,0)，当x＞1时y＞0，当0＜x＜1时y＜0，图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．

通过观察图2，可知ylog1x的图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下2延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象经过点(1,0)，当x＞1时y＜0，当0＜x＜1时y＞0，图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．

可以再画下列函数的图象：y＝log3x，ylog1x，以作比较，重新观察函数图象的特点，3推广到一般的情形．

(5)通过以上观察我们得到对数函数图象的特点进而得出函数的性质．

图象的特征

(1)图象都在y轴的右边

(2)函数图象都经过(1,0)点

(3)从左往右看，当a＞1时，函数的性质

(1)定义域是(0，＋∞)

(2)1的对数是0 (3)当a＞1时，y＝logax是增图象逐渐上升，当0＜a＜1时，函数，当0＜a＜1时，y＝logax图象逐渐下降

(4)当a＞1时，函数图象在(1,0)点右边的纵坐标都大于0，在(1,0)点左边的纵坐标都小于0；当0＜a＜1时，图象正好相反，在(1,0)点右边的纵坐标都小于0，在(1,0)点左边的纵坐标都大于0

由上述表格可知，对数函数的性质如下：

是减函数

(4)当a＞1时，

x＞1，则logax＞0，

0＜x＜1，则logax＜0；

当0＜a＜1时，

x＞1，则logax＜0，

0＜x＜1，则logax＞0

a＞1

0＜a＜1 5

图

象

定义域：(0，＋∞)

值域：R

过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0 性

质

x∈(0,1)时，y＜0；

x∈(1，＋∞)时，y＞0

x∈(0,1)时，y＞0；

x∈(1，＋∞)时，y＜0 在(0，＋∞)上是减函数

在(0，＋∞)上是增函数

(6)在同一坐标系中作出y＝log2x和ylog1x x两个函数的图象如图3. 2经过仔细研究观察发现，它们的图象关于x轴对称．

图3 (7)证明：设点P(x1，y1)是y＝log2x上的任意一点，它关于x轴的对称点是P1(x1，－y1)，它满足方程y＝log1x＝－log2x，即点P1(x1，－y1)在ylog1x的图象上，反之亦然，所以y22＝log2x和ylog1x两个函数的图象关于x轴对称．

2(8)因为y＝log2x和ylog1x两个函数的图象关于x轴对称，所以，可以根据y＝log2x26

的图象，利用轴对称的性质画出ylog1x的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以2后的学习非常有好处．下面我们看它们的应用．

探究3 与对数函数有关的定义域问题

应用示例

例1求下列函数的定义域：

(1)y＝logax；(2)y＝loga(4－x)．

活动：学生回忆，教师提示，师生共同完成解题过程．此题主要利用对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)求解．①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0，底数大于0而不等于1. 解：(1)由x2＞0得x≠0，所以函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}；

(2)由4－x＞0得x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．

点评：该题主要考查对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)这一限制条件，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可. 变式训练

1．课本本节练习2. 2．求下列函数的定义域：

(1)y＝log3(1－x)；(2)y＝(3)y＝log71；

log2x21； (4)y＝log3x. 1－3x解：(1)由1－x＞0得x＜1，所以所求函数定义域为{x|x＜1}．

(2)由log2x≠0，得x≠1，又x＞0，所以所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}．

1>0,11(3)由13x得x＜，所以所求函数定义域为{x|x＜}．

3313x0,x>0,x>0,(4)由得所以x≥1.

logx0,x1,37

所以所求函数定义域为{x|x≥1}.

课堂小结

1．对数函数的概念．

2．对数函数的图象与性质．

3．函数定义域的求法及函数奇偶性的判定方法．

4．数形结合与转化的数学思想．

作业

九、设计感想

本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，要充分利用函数图象，数形结合，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，因此课堂容量大，要提高学生互动的积极性，特别是归纳出对数函数的图象和性质后，要与指数函数的图象和性质进行比较，加深对数函数的概念、图象和性质的理解，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．

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