小结第一课时教学实录

函数的基本性质

（一）单调性

1、定义：

（函数的单调性是针对某个定义域内的区间而言的。）

2、函数单调性的判断方法

（1）图像法：

若函数在某个区间上图像随着x的增大而上升，则函数在这个区间上是增函数；

若函数在某个区间上图像随着x的增大而下降，则函数在这个区间上是减函数。

（2）定义法：

（3）利用已知函数的单调性：

a、增（减）+增（减）=增（减）；

b、增（减）减（增）=增（减）；

c、yf(x)与ykf(x)

k0，当k0时，增减性相同；

当k0时，增减性相反；

d、yf(x)0与y1的增减性相反。

f(x)

（4）复合函数的单调性的判断（记法：同曾异减）（主要是指数型和对数型）

对yf[g(x)]分解为yf(u),ug(x)，此二函数的单调性相同，则yf[g(x)]为增函数；此二函数的单调性为一增一减，则yf[g(x)]为减函数。

例

求下列函数的增减区间

（1）f(x)()12x22x3 （2）f(x)log3(4xx2) （3）f(x)a1x

2（二）最大（小）值

（1）定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（Ⅰ）对于任意的xI，都有f(x)M；

（Ⅱ）存在x0I，使得f(x0)M。

那么，我们称M是函数yf(x)的最大值，可记作：f(x)maxM。

（2）从图像看最值：

图像有最高点，就有最大值，最大值为最高点的纵坐标，若没有最高点就没有最大值；

图像有最低点，就有最小值，最小值为最低点的纵坐标，若没有最低点就没有最小值。

（3）连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值情况

（Ⅰ）若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则最大值为f(b)，最小值为f(a)；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减，则最大值为f(a)，最小值为f(b)；

（Ⅲ）若函数f(x)在区间[a,b]上先减再增，则最小值看最低点的纵坐标，最大值为f(a)、f(b)中的较大者；（若f(a)与f(b)一样大则两个都可做最大值。）

（Ⅳ）若函数f(x)在区间[a,b]上先增再减，则最大值看最高点的纵坐标；最小值为f(a)、f(b)中的较小者。（若f(a)与f(b)一样大则两个都可做最小值。）

（三）奇偶性

1、定义：f(x)f(x)为偶函数，f(x)f(x)为奇函数。

由定义知：定义域必关于原点对称；

2、图像：

偶函数的图像关于y轴对称，（反之，若一个函数的图像关于y轴对称，则函数为偶函数。）

奇函数的图像关于原点对称，（反之，若一个函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数。）

这也是判断奇偶函数的依据。

3、函数奇偶性的判断

（首先确定函数的定义域，看是否关于原点（或y轴）对称的，若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数又不是偶函数。）

（1）图像法：奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于轴对称。

（2）定义法：：先看定义域，再看是否f(x)f(x)

或等价形式：（适合对数函数）f(x)f(x)0，f(x)1（f(x)0单独讨论）

f(x)3利用已知结论：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

○4复合函数的奇偶性的判断：

○若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

5分段函数的单调性应分段验证。

○（6）双钩函数（对勾函数）

函数f(x)axb

（a0,b0）叫做双钩函数。渐近线yax。

xf(x)xa

（a0）

x

4、函数奇偶性的几个性质

（1）对称性：奇偶函数的定义域关于原点对称；

（2）整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；

（3）可逆性：f(x)f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)是奇函数；

（4）等价性：f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)1（分母不为零），

f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)01（分母不为零）。

f(x)（5）可分性：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。

（6）若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)0；f(x)为偶函数f(x)f(x)。

（7）既是奇函数又是偶函数的函数图像一定在x轴上。

5、奇偶性与单调性

奇函数在对称区间(b,a)与(a,b)上增减性相同；偶函数在对称区间(b,a)与(a,b)上增减性相反。