1.1 集合的含义及其表示优质课教案推荐

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

集合

符号

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

符号语言

Venn图

自然数集

N

正整数集

N*(或N＋)

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

子集

A⊆B(或B⊇A)

AB(或BA)

真子集

集合相等

3.集合的基本运算

运算

交集

自然语言

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

符号语言

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

Venn图

并集

补集

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

【知识拓展】

1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 3．A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U(∁UA)＝A. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．(

×

) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(

×

) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(

×

) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(

√

) (5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(

√

) (6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(

×

)

1．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是(

) A．{a}⊆A

C．{a}∈A

答案

D 解析

由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A. 2．(2016·江西重点中学联考)已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝x－3}，则A∩B等于(

) A．[1,3]

B．[1,5]

C．[3,5]

D．[1，＋∞) 答案

C 解析

根据题意，得A＝{x|x2－6x＋5≤0}＝{x|1≤x≤5}，

B＝{x|y＝x－3}＝{x|x≥3}，

所以A∩B＝{x|3≤x≤5}＝[3,5]．

3．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于(

) A．{－1,0,1,2}

C．{0,1}

答案

A B．{－2，－1,0,1} D．{－1,0} B．a⊆A

D．a∉A

解析

因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A. 4．(2016·天津)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于(

) A．{1}

C．{1,3}

答案

D 解析

因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；

当x＝2时，y＝3×2－2＝4；

当x＝3时，y＝3×3－2＝7；

当x＝4时，y＝3×4－2＝10；

即B＝{1,4,7,10}．

又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D. 5．(2016·云南名校联考)集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x

答案

[2，＋∞) 解析

由A∩B＝A，知A⊆B，

从数轴观察得a≥2. B．{4} D．{1,4}

题型一

集合的含义

例1

(1)(2017·济南调研)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是(

) A．9

B．8

C．7

D．6 (2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________. 9答案

(1)B

(2)0或

8解析

(1)当a＝0时，a＋b＝1,2,6；

当a＝2时，a＋b＝3,4,8；

当a＝5时，a＋b＝6,7,11. 由集合中元素的互异性知P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素．

2(2)若a＝0，则A＝3，符合题意；



9若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝. 89综上，a的值为0或. 8思维升华

(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

(1)(2016·临沂模拟)已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(

) A．－1∉A

C．3k2－1∈A(k∈Z)

B．－11∈A

D．－34∉A

b(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，a，b，则b－a＝________. 答案

(1)C

(2)2 解析

(1)∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A. b(2)因为{1，a＋b，a}＝0，a，b，a≠0，

b所以a＋b＝0，得＝－1，

a所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2. 题型二

集合的基本关系

例2

(1)(2016·唐山一模)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的B的个数是(

) A．5

B．4

C．3

D．2 (2)已知集合A＝{x|x2－2 017x＋2 016<0}，B＝{x|x

答案

(1)B

(2)[2 016，＋∞) 解析

(1)∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，

∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．

(2)由x2－2 017x＋2 016<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

可得a≥2 016. 引申探究

本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．

答案

(－∞，1] 解析

A＝{x|1

可得a≤1. 思维升华

(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

(1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为(

) 11A.或－

3211C.或－或0

3211B．－或

3211D．－或或0 32(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

答案

(1)D

(2)(－∞，4] 解析

(1)由题意知A＝{2，－3}．

当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；

1当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝，

a11由B⊆A，可得＝－3或＝2，

aa11∴a＝－或a＝. 3211综上，a的值为－或或0. 32(2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；

当B≠∅时，若B⊆A，如图，

m＋1≥－2，则2m－1≤7，解得2

题型三

集合的基本运算

命题点1

集合的运算

例3

(1)(2016·全国乙卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于(

) 3－3，－

A.231，

C.23－3，

B.23D.2，3

(2)(2016·浙江)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)等于(

) A．[2,3]

C．[1,2)

答案

(1)D

(2)B 解析

(1)由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1

3B＝{x|2x－3>0}＝{x|x>}，

233得A∩B＝{x|

∴∁RQ＝(－2,2)．又P＝[1,3]，

∴P∪(∁RQ)＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．

命题点2

利用集合的运算求参数

例4

(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

) A．－1

C．a≥－1

B．a>2 D．a>－1 B．(－2,3] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) (2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(

) A．0

B．1

C．2

D．4 答案

(1)D

(2)D 解析

(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

(2)由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4. 思维升华

(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

(1)(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于(

) A．(－1,1)

C．(－1，＋∞)

B．(0,1) D．(0，＋∞) (2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

)

A．[－1,2)

C．[2，＋∞)

答案

(1)C

(2)D B．[－1,3]

D．[－1，＋∞) 解析

(1)∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1

∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C. (2)由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A. ①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2. －3≤2m－1，②当B≠∅时，有m＋1≤4，2m－1

解得－1≤m<2. 综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．

题型四

集合的新定义问题

例5

已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为(

) A．77

B．49

C．45

D．30 答案

C 解析

如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.

思维升华

解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于(

) A．{x|3

B．{x|3≤x≤4}

C．{x|3

答案

B D．{x|2≤x≤4} 解析

A＝{x|1

1．集合关系及运算

典例

(1)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(

) A．0或3

C．1或3

B．0或3 D．1或3或0 (2)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是________．

错解展示

解析

(1)由A∪B＝A得B⊆A，∴m＝3或m＝m，

故m＝3或m＝0或m＝1. (2)∵B⊆A，讨论如下：

Δ＝4a＋1－4a－1>0，①当B＝A＝{0，－4}时，－2a＋1＝－4，a2－1＝0，解得a＝1. ②当BA时，由Δ＝0得a＝－1，

此时B＝{0}满足题意，

综上，实数a的取值范围是{1，－1}．

答案

(1)D

(2){1，－1} 现场纠错

解析

(1)A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B. (2)因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

Δ＝4a＋1－4a－1>0，－2a＋1＝－4，a2－1＝0，2222

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，

解得a<－1. 综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．

答案

(1)B

(2)(－∞，－1]∪{1} 纠错心得

(1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验．

(2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.

1．(2016·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(

) A．3

B．4

C．5

D．6 答案

C 解析

由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中的元素的个数为5.故选C. 2．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为(

) A．8

B．4

C．3

D．2 答案

B 解析

由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．

3．已知集合A＝{x|1

) 1A．[，＋∞)

3C．(－∞，0]

答案

D 解析

∵A∩B＝∅，

1①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；

31②若2m<1－m，即m<时，

311m<3，m<3，需满足或

1－m≤12m≥3，11解得0≤m<或∅，即0≤m<. 33综上，实数m的取值范围为[0，＋∞)．

4．(2017·潍坊调研)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则下图中阴影部1B．[0，) 3D．[0，＋∞)

分所表示的集合为(

)

A．{0,1}

C．{1,2}

答案

B 解析

因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为A去掉A∩B，所以阴影部分所表示的集合为{1}．

5．已知集合A＝{x|－1

) A．(－∞，0]

C．(－∞，0)

答案

B 解析

用数轴表示集合A，B(如图)，

B．[0，＋∞) D．(0，＋∞) B．{1} D．{0,1,2}

由A⊆B，得a≥0. 6．(2016·河北衡水中学模拟)已知U为全集，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|2

) A．{x|－1≤x≤4}

C．{x|2≤x<3}

答案

B 解析

∵A＝{x<－1或x>3}，

∴∁UA＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|2

∴B∩(∁UA)＝{x|2

7．(2016·宁夏银川二中考试)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是(

) A．(0,1]

C．(0,1)

答案

B 解析

由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1. B．[1，＋∞) D．(1，＋∞) B．{x|2

8．(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q

＝{x|1＜x≤2}，则(∁RP)∩Q等于(

)

A．[0,1)

B．(0,2]

C．(1,2)

D．[1,2]

答案

C 解析

∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，

∴(∁RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C. 9．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

D 解析

由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}．

∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．

31*10.设集合M＝x|m≤x≤m＋4，N＝x|n－3≤x≤n，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是(

) 1215A.

B.

C.

D.

331212答案

C 1m≥0，n－≥0，113解析

由已知，可得即0≤m≤；即≤n≤1，取m的最小值0，343m＋≤1，4n≤1，3232230，，N＝，1，所以M∩N＝0，∩，1＝，，此时集n的最大值1，可得M＝434334321合M∩N的“长度”的最小值为－＝，故选C. 431211．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为__________．

3答案

－

2解析

∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3. 当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，

不符合集合的互异性，舍去；

3当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，

231当m＝－时，m＋2＝≠3，符合题意，

223∴m＝－. 212．(2017·南阳月考)设全集U＝R，集合A＝{x|y＝x2－2x－3}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B＝__________.

答案

(－∞，－1]∪(1，＋∞) 解析

因为A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y>1}，

所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}．

13．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是__________．

答案

(－∞，1] 解析

∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1. *14.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

答案

6 解析

依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．

*15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________. 答案

－1

1 解析

A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，

则B＝{x|m