1.3 交集、并集教案3

1．1.3 集合的基本运算

第一课时

第一课时

并集与交集

[读教材·填要点] 1．

集合的并集与交集的定义

自然并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素组交集

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

语言

成的集合

符号语言

图形语言

2．并集与交集的运算性质

并集的运算性质

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

交集的运算性质

A∪B＝B∪A A∪A＝A A∪∅＝A A⊆B⇔A∪B＝B A∪B⊇A，A∪B⊇B A∩B＝B∩A

A∩A＝A

A∩∅＝∅

A⊆B⇔A∩B＝A

A∩B⊆B，A∩B⊆A

[小问题·大思维] 1．若A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，那么A∪B＝{1,2,3,3,4,5}对吗？如何表示A∪B和A∩B?

提示：A∪B＝{1,2,3,3,4, 5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3}．

2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？

提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”．

3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？

提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是A∩B＝∅.

集合交并的简单运算

[例1] 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(

) A．{－1,2,3}

C．{1，－2,3} B．{－1，－2,3} D．{1，－2，－3} [自主解答] A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}＝{1，－2}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}＝{－2,3}，

∴A∪B＝{1，－2}∪{－2,3}＝{－2,1,3}．

[答案] C ——————————————————

解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示. ————————————————————————————————————————

51．已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，求A∩B，A∪B. 25解：∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，

2把集合A与B表示在数轴上，如图．

5∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0或x≥} 25＝{x|－1＜x≤0或≤x≤3}；

2

A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x≤0或x≥}＝R.

已知集合交集、并集求参数

[例2] 已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x}，A∪B＝{1,3，x}，求满足条件的实数x的值．

[自主解答] ∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x}，

∴A∪B＝A，即B⊆A，

∴x＝3或x＝x. ①当x＝3时，得x＝±3. 若x＝3，则A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，符合题意；

若x＝－3，则A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，符合题意．

②当x＝x时，则x＝0或x＝1. 若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；

若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不成立，舍去；

综上可知，x＝±3或x＝0. ——————————————————

22222252在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理. 对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性. ————————————————————————————————————————

2．已知集合A＝{4,6}，B＝{2，m}，A∪B＝{2,4,6}，则m的值为________．

解析：∵A＝{4,6}，B＝{2，m}，

而A∪B＝{2,4,6}，

∴m＝4或m＝6. 答案：4或6

解题高手

妙解题

同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！

集合A＝{x|x－ax＋a－19＝0}，B＝{x|x－5x＋6＝0}，C＝{x|x＋2x－8＝0}．

2222

(1) 若A∩B＝A∪B，求a的值；

(2)若∅A∩B，A∩C＝∅，求a的值．

[巧思] (1)A∩B＝A∪B⇔A＝B；(2)∅A∩B⇔A∩B≠∅. [妙解] 由已知，得B＝{2,3}，C＝{2，－4}．

(1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B.于是2,3是一元二次方程x－ax＋a－19＝0的两个根，由2＋3＝a，根与系数之间的关系知：22×3＝a－1922

解之得a＝5. (2)由A∩B∅⇒A∩B≠∅，又A∩C＝∅，得3∈A,2∉A，－4∉A. 由3∈A得3－3a＋a－19＝0，

解得a＝5或a＝－2. 当a＝5时，A＝{x|x－5x＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A矛盾；

当a＝－2时， A＝{x|x＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．

∴a＝－2. 2222

1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是(

) A．N⊆M

C．M∩N＝N B．M∪N＝M

D．M∩N＝{2} 解析：因为－2∉M，可排除A；M∪N＝{－2,1,2,3,4}，可排除B；M∩N＝{2}．

答案：D 2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为(

) 2

A．{2} C．{－3,2} B．{3} D．{－2,3} 解析：注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．

答案：A 3．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是(

) A．k≤3

B．k≥－3

C．k>6 D．k≤6

解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}，

2且M∩N≠∅，所以－≥－3⇒k≤6.

2答案：D 4．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，则A∩B∩C＝________. 解析：∵A∩B＝{x|x是菱形} ∴A∩B∩C＝{x|x是正方形}．

答案：{x|x是正方形} 5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________. 解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，

kkM∩N＝{0,2}．

答案：{0,2} 6．设集合A＝{a，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a. 解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B. ∵a＋1≠－3，

∴①若a－3＝－3，则a＝0，

此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，

但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，

∴a≠0.

②若2a－1＝－3，则a＝－1，

此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.

一、选择题

1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝(

) A．{x|x≥－1} C．{x|0

B．{x|x≤2}

D．{x|1≤x≤2}

222解析：结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．

答案：A 2．设集合M＝{x|－3

) A．{x|1≤x<2} B．{x|1≤x≤2}

C．{x|2

D．{x|2≤x≤3}

解析：∵M＝{x|－3

∴M∩N＝{x|1≤x<2}．

答案：A 3．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是(

) A．t<－3 C．t>3 B．t≤－3 D．t≥3

2解析：B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.

答案：A 4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则(

) A．－3≤m≤4

C．2＜m＜4 解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B≠∅，

B．－3＜m＜4 D．2＜m≤4

m＋1≥－2，∴2m－1≤7m＋1＜2m－1答案：D 二、填空题

即2＜m≤4.

5．已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________. 解析：集合A，B都是以列举法的形式给出，易得A∪B＝{1,2,4,6}．

答案：{1,2,4,6} 6．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝________. 解析：用数轴表示集合A、B如图所示，

由于A∩B＝{x|5≤x≤6}，

则m＝6. 答案：6 7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．

解析：如图所示，若A∪B＝R，则a≤1.

答案：a≤1

8．已知集合A＝{(x，y)|y＝ax＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x＋b}，A∩B＝{(2,5)}，则a＝________，b＝________. 解析：∵A∩B＝{(2,5)}．

∴5＝2a＋3.∴a＝1. ∴5＝6＋b.∴b＝－1. 答案：1 －1 三、解答题

9．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．

(1)求A∩B；

(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．

解：(1)∵B＝{x|x≥2}，A＝{x|－1≤x＜3}，

∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．

(2)∵C＝{x|x＞－}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴a＞－4. 2a3－x>0，10．已知集合A＝x3x＋6>03－x>0，解：解不等式组3x＋6>0，

，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B. 

得－2

则A＝{x|－2

解不等式3>2m－1，得m<2，则B＝{m|m<2}．

用数轴表示集合A和B，如图所示，

则A∩B＝{x|－2