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集合中的创新问题

数学思维的创新是思维品质最高层次，以集合为背景的创新问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．

常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．

一、创新集合新定义

创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．

【例1】若xA，则11A，就称A是伙伴关系集合，集合M1,0,,2,3的所有x2非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(

) A．1

B．3

C．7

D．31 【小试牛刀】【2015广东揭阳模拟】对于集合M，定义函数fM(x)1,xM,对于两个1,xM,集合A,B，定义集合ABxfA(x)fB(x)1．已知A＝2,4,6,8,10，B＝1,2,4,8,12，则用列举法写出集合AB的结果为________．

【答案】1,6,10,12

【解析】要使fA(x)fB(x)1，必有x{x|xA且xB}{x|xB且xA}＝1,6,10,12，所以AB＝1,6,10,12．

二、创新集合新运算

创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．

【例2】【2015内蒙古北方重工业集团三中高三12月月考】如图所示的Venn图中，A,B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若x，yR，Axy2xx2，B＝{y|y＝3x，x0}，则AB为(

)

A．x|0x2

B．x|1x2

C．{x|0x1或x2}

D．{x|0x1或x2}

【小试牛刀】【2015安徽安庆一中、安师大附中联考】约定与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数a，b，有：ab＝ab，ab＝b(a2＋b2＋1)．设－2＜a＜b＜2，a，b∈Z，用列举法表示集合A＝{x|x＝2(ab)＋

ab}．

b三、创新集合新性质

创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．

【例3】对于复数a,b,c,d，若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x，yS，必有a＝1，2，则当b＝1，xyS”c2＝b

时，b＋c＋d等于(

) A．1

B．－1

C．0

D．i

【分析】根据集合元素具有的性质，经过逻辑推理计算出4个元素的取值，进而求值．

【解析】选B

∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a＝1时，b＝－1，c2＝－1，∴

c＝i，由“对任意x，yS，必有xyS”知iS，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，

∴b＋c＋d＝－(1)＋0＝－1. 【点评】在已学集合知识的基础上，给集合元素新定义一种性质，考查在新环境中运用知识的能力，解题的关键在于阅读理解上，在准确把握信息的基础上，以旧带新，利用已有知识解决问题．

【小试牛刀】【2015湖北襄阳四中等四校高三下学期期中考试】已知集合M是由具有如下性质的函数f(x)组成的集合：对于函数f(x)，在定义域内存在两个变量x1,x2且x1x2时x有f(x1)f(x2)x1x2．则下列函数①f(x)e(x0)；②f(x)lnx；③xf(x)x；④f(x)1sinx在集合M中的个数是

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B。

与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题．通过以上类型可知，集合的新定义问题的解决方法是：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．

（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

【迁移运用】

1．【2015届广东省汕头市澄海凤翔中学高三上学期第三次段考理科数学试卷】设整数n4，集合1,2,3,,n．令集合Sx,y,zx,y,z,且三条件xyz,yzx,zxy恰有一个成立．若x,y,z和z,w,x都在S中，则下列选项正确的是（ ）

A．y,z,wS，x,y,wS B．y,z,wS，x,y,wS

C．y,z,wS，x,y,wS D．y,z,wS，x,y,wS

【答案】B

2．【2014-2015学年广东实验中学高二下学期期中文科数学试卷】设S为复数集C的非空子集．若对任意x,yS，都有xy,xy,xyS，则称S为封闭集。下列命题：

①集合S＝{a＋bi|（a,b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集．

上面命题中真命题共有哪些？（ ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②④【答案】B

【解析】①成立，因为集合S里的元素，不管是相加，还是相减，还是相乘，都是复数，并且实部，虚部都是整数；②当xy时，xy0S所以成立；③不成立，举例：0[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

就是封闭集，但是有限集，④举例，S0,T0，1集合T就不是封闭集．所以不成立．源:学§科§网Z§X§X§K][来

3．【2015届广东省揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考试理科数学试卷】非空数集A如果满1A，则称A是“互倒集”.给出以下数集：

xlnx1,x[,1)(1,e]}；

①{xR|x2ax10}；②{x|x24x10}；③{y|yxe足：①0A；②若对xA,有22x,x[0,1)5④yy.其中“互倒集”的个数是（ ）

1x.x[1,2]xA．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

4．【2015届广东省汕头市高三第一次模拟考试文科数学试卷】在整数集中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k5nkn，k0，1，2，3，4．给出如下四个结论：

①20153；②22；

③0[来源:Z§xx§k.Com]

1234；

④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“ab0”．

其中，正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

5．【2015届山东省文登市高三上学期第一次考试理科数学试卷】对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数 时,m※n=mn;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合M{(a,b)|a※b16}中的元素个数是（ ）

A.18个 B.17个 C.16个 D.15个

【答案】B.

2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，【解析】因为1+15=16，8+8=16，

116=16，（a,b）集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有82+1=17个，故选B.

6．【2015届广东省中山一中等七校高三12月联考理科数学试卷】由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MNQ,MN,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称M,N为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割M,N,下列选项中,不可能成立的是（ ）

A．M没有最大元素,N有一个最小元素

B．M没有最大元素,N也没有最小元素

C．M有一个最大元素,N有一个最小元素

D．M有一个最大元素,N没有最小元素

【答案】C

集是所有的有理数矛盾

7．【2014-2015学年浙江省江山实验中学高二4月教学质检文科数学试卷】用n(A)表示非空集合A中的元素个数，定义ABn(A)n(B),当n(A)n(B),若n(B)n(A),当n(A)n(B)A{x|x2ax140,aR},B{x||x2bx2014|2013,bR}，设S{b|AB1}，则n(S)等于（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

8．【2015届福建省漳州市普通高中毕业班质量检查理科数学试卷】已知集合x1,x2,,xn（n，n3），若数列xn是等差数列，记集合xxxixj,xi,xj,1ijn,i,j的元素个数为，则关于n的表达式为 ．

【答案】2n-3

9．【2015届湖北省黄冈市高三上学期元月调研考试理科数学试卷】设集合M{1,2,3,对M的任意非空子集A，定义f(A)为A中的最大元素，当A,n}(nN*)，取遍M的所有非空子集时，对应的f(A)的和为Sn，则①S3 ；②Sn 。

【答案】①17；②(n1)21

10．【2015届北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）文科数学试卷】设全集nU={1,2,3,4,5,6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．

①若M{2,3,6}，则ðUM表示的6位字符串为 ；

②若A{1,3}, 集合A【答案】100110；4

11．【2015届湖南省益阳市高三四月调研考试理科数学试卷】已知k为合数，且1k100，当k的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k的“衍生质数”．

（1）若k的“衍生质数”为2，则k ；

（2）设集合APk|Pk为k的“衍生质数”，Bk|Pk为k的“衍生质数”，则集合B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是 ．

AB中元素的个数是 ．

【答案】20，30．

12．【2015届安徽省江淮名校高三第二次联考理科数学试卷】已知集合M=(x,y)|yf(x)，对于任意实数对(x1,y1)M，存在实数对（x1，y2）M使得x1x2+y1y2=0成立，则称集命M是：“孪生对点集”-给出下列五个集合-；

①M(x,y)y1

x②M{(x,y)|yex2}

③M{(x,y)|ysinx}

④M{(x,y)|yx21}

⑤M{(x,y)|y1nx}

其中不是“孪生对点集”的序号是 。

【答案】①，⑤

【解析】本题的实质是：在yf(x)上任取一点A(x1,y1)，连接OA，则在yf(x)总存在一点B(x2,y2)使得OBOA，画图可知①，⑤符合定义。

13．【2014-2015学年上海市金山中学高一上学期期末考试数学试卷】定义全集U的子集A的特征函数为fA(x)1，xA，这里CUA表示A在全集U中的补集，那么对于集合0,xCUA[来源:Zxxk.Com]A、BU，下列所有正确说法的序号是 ．（1）ABfA(x)fB(x)

（2）fðA(x)1fA(x)

U

（3）fAB(x)fA(x)fB(x)

（4）fAB(x)fA(x)fB(x)

【答案】（1）（2）（4）

14．【百强校2015届湖北省黄冈中学等八校高三12月联考理科数学试卷】以（0, m）间的整数(m1,mN）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以(0,m2)间的整数(m1,mN）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2； ，依次类推以(0,mn)间的整数(m1,mN）为分子，以mn为分母组成不属于A1，A2，

，An1的分数集合An，其所有元素和为an；则a1a2an=________．

mn1【答案】. 215．【2015届上海市闸北区高三上学期期末练习理科数学试卷】对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素eA，使得对任意aA，都有eaaea，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素．例如：AR，运算“”为普通乘法；存在1R，使得对任意aR，都有1aa1a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．

下面给出三个集合及相应的运算“”：

①AR，运算“”为普通减法；

②A{AmnAmn表示mn阶矩阵，mN,nN}，运算“”为矩阵加法；

③AXXM（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集．

其中对运算“”有单位元素的集合序号为

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③

【答案】D

