习题3.1PPT配套教学设计内容

第九节

函数与方程

适用学科

适用区域

数学

新课标

1.

方程的根与函数零点的关系

2.

函数零点的判断方法

知

识

点

3.

二分法的概念

4.

用二分法求函数零点问题

5.

函数零点个数问题

6.

函数与方程的综合问题

学习目标

学习重点

学习难点

1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 函数的零点及二分法

函数的零点及二分法

适用年级

课时时长（分钟）

高三

60 1 / 21

学习过程

一、复习预习

1.

函数图像的作法

2.

函数图像的变换

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二、知识讲解

考点1函数的零点

(1)定义：

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根

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考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象

与x轴的交点

零点个数

(x1,0)，(x2,0)

两个

(x1,0)

一个

无交点

零个

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0 4 / 21

考点3二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

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三、例题精析

【例题1】

【题干】

(1)在下列区间中，函数f(x)＝e－x－4x－3的零点所在的区间为(

) 13A.－4，－2

1C.－4，0

11B.－2，－4

1D.0，4

2(2)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－x的零点，则g(x0)等于________．

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【答案】

(1)B

(2)2 331313【解析】

(1) 易知函数f(x)在R上是单调减函数．对于A，注意到f－4＝e4－4×－4－3＝e4>0，f－2＝e2－111311－x2－－，－－4×2－3＝e－1>0，因此函数f(x)＝e－4x－3的零点不在区间4上；对于B，注意到f2>0，f－4＝2111111－4e－4×－4－3＝e－2<44－2<0，因此在区间－2，－4上函数f(x)＝ex－4x－3一定存在零点；对于C，注意到f－41111<0，f(0)＝－2<0，因此函数f(x)＝e－4x－3的零点不在区间－4，0上；对于D，注意到f(0)＝－2<0，f4＝e4－4×4－x14－3＝e141－4<0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间0，4上．

12(2)

∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝x＋x2>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln 2－1<0，2f(e)＝ln e－e>0，知x0∈(2，e)，

∴g(x0)＝[x0]＝2.

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【例题2】

1，x>0，【题干】已知符号函数sgn(x)＝0，x＝0，

则函数f(x)＝sgn(x－1)－ln x的零点个数为(

) A．1

C．3

－1，x<0，B．2

D．4 8 / 21

【答案】C 【解析】依题意得，当x－1>0，即x>1时，f(x)＝1－ln x，令f(x)＝0得x＝e>1；当x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝01－ln 1＝0；当x－1<0，即x<1时，f(x)＝－1－ln x，令f(x)＝0得x＝e<1.因此，函数f(x)的零点个数为3.

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【例题3】

e2【题干】已知函数f(x)＝－x＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋x(x>0)．

2(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

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e2【解析】(1)法一：∵g(x)＝x＋≥2e2＝2e，

x等号成立的条件是x＝e，

∴g(x)的值域是[2e，＋∞)．

因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．

e2法二：作出g(x)＝x＋x(x>0)的大致图象如图：

可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e. (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，

e2作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．

x∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2. ∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2. 故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．

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【例题4】

【题干】

(2012·福建高考)对于实数a和b，定义运算“*”：

2a－ab，a≤b，a*b＝2设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，

b－ab，a>b.x3，则x1x2x3的取值范围是________．

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1－3【答案】

，0

1622x－1－2x－1x－1，x≤0，【解析】由定义可知，f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝

2x－1－2x－1x－1，x>0，22x－x，x≤0，即f(x)＝2作出函数f(x)的图象，如图所示，

－x＋x，x>0.关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则10

当x>0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1，∴0

3－11－3∴0<－x1x2x3<16.∴16

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四、课堂运用

【基础】

x2－1，x≤1，1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(

) 1＋log2x，x>1，

A.12，0

C.12

B．－2,0 D．0 14 / 21

2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(

) A．(－2，－1)

C．(0,1)

B．(－1,0) D．(1,2) 15 / 21

13．已知函数f(x)＝5x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0

) A．恒为正值

C．恒为负值

B．等于0 D．不大于0 16 / 21

【巩固】

4．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 012x＋log2 012x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．

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5．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2.若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围为________．

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【拔高】

6．若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．

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7．设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1,2]上有零点，求m的取值范围．

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课程小结

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