阅读与思考 集合中元素的个数第一课时教学设计

§1.1

集合及其运算

最新考纲

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 4.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.

集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度. 考情考向分析

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

集合

符号

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)

集合A是集合B的子集，且真子集

集合B中至少有一个元素不在集合A中

集合相等

3.集合的基本运算

运算

交集

自然语言

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

符号语言

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

Venn图

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

AB(或BA)

符号语言

Venn图

自然数集

N

正整数集

N*(或N＋)

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

子集

A⊆B(或B⊇A)

并集

补集

知识拓展

1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．(

×

)

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(

×

) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(

×

) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(

√

) (5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(

√

) (6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(

×

) 题组二

教材改编

2．[P11例9]已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________. 答案

{x|x是直角} 3．[P44A组T5]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．

答案

2 解析

集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点题组三

易错自纠

4．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于(

) A．0或3 C．1或3 答案

B 解析

A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B. 5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x

答案

(3，＋∞) 解析

A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，

∵A⊆B，B＝{x|x3. 6．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________. 9答案

0或

82解析

若a＝0，则A＝3，符合题意；

2222，－，－，则A∩B中有两个元素．

，2222B．0或3 D．1或3或0 9若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝. 89综上，a的值为0或. 8

题型一

集合的含义

1．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 答案

1 解析

∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1. 经检验，a＝1符合题意．

2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是(

) A．2B．3C．4D．5 答案

B 解析

B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．

思维升华

(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．

(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

题型二

集合的基本关系

典例(1)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是(

) A．5B．4C．3D．2 答案

B 解析

∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，

∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．

(2)已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x

答案

[2018，＋∞) 解析

由x2－2019x＋2018<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

可得a≥2018. 引申探究

本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．

答案

(－∞，1]

解析

A＝{x|1

思维升华

(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

跟踪训练

(1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为(

) 11A.或－

3211C.或－或0 32答案

D 解析

由题意知，A＝{2，－3}．

当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；

1当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝，

a11由B⊆A，可得＝－3或＝2，

aa11∴a＝－或a＝. 3211综上可知，a的值为－或或0. 32(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

答案

(－∞，4] 解析

当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；

当B≠∅时，若B⊆A，如图，

m＋1≥－2，则2m－1≤7，

m＋1<2m－1，解得2

11B．－或

3211D．－或或0 32

题型三

集合的基本运算

命题点1

集合的运算

典例(1)(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(

) A．A∩B＝{x|x<0} C．A∪B＝{x|x>1} 答案

A 解析

∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．

又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，

A∪B＝{x|x<1}．

(2)(2018届珠海二中月考)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5

) A．A∩B＝∅

C．B⊆A

答案

D 解析

∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R. 命题点2

利用集合的运算求参数

典例(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

) A．－1

D 解析

因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1. B．a>2 D．a>－1 B．A⊆B

D．A∪B＝R

B．A∪B＝R

D．A∩B＝∅

(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(

) A．0B．1C．2D．4 答案

D 解析

由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4. (3)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．

答案

(－∞，－1]∪{1} 解析

因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，

由根与系数的关系，得

Δ＝4a＋1－4a－1>0，－2a＋1＝－4，a2－1＝0，22

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，

解得a<－1. 综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．

思维升华

(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

跟踪训练

(1)(2017·天津)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于(

) A．{2} C．{1,2,4,6} 答案

B 解析

A∪B＝{1,2,4,6}．

又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．

(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

) A．[－1,2)

C．[2，＋∞)

答案

D 解析

由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，

即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．

又A∩B＝B，所以B⊆A. ①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；

－3≤2m－1，②当B≠∅时，有m＋1≤4，2m－1

B．[－1,3]

D．[－1，＋∞) B．{1,2,4} D．{x∈R|－1≤x≤5}

题型四

集合的新定义问题

典例若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p

) A．200 C．100 答案

A 解析

在集合E中，当s＝1时，p＝q＝r＝0，此时只有1个元素；当s＝2时，p，q，r∈{0,1}，此时有2×2×2＝8(个)元素；当s＝3时，p，q，r∈{0,1,2}，此时有3×3×3＝27(个)元素；当s＝4时，p，q，r∈{0,1,2,3}，此时有4×4×4＝64(个)元素，故card(E)＝1＋8＋27＋64＝100. 在集合F中，(t，u)的取值可能是(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共10种可能．同理，(v，w)也有10种可能，故card(F)＝10×10＝100，∴card(E)＋card(F)＝200. 思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．

跟踪训练定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于(

) A．{x|3

B 解析

A＝{x|1

B．{x|3≤x≤4} D．{x|2≤x≤4} B．150 D．50

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(

) A．A＝B

C．AB

答案

D 2．(2017·浙江)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于(

) A．(－1,2)

B．(0,1) B．A∩B＝∅

D．BA

C．(－1,0)

答案

A D．(1,2) 解析

∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，

∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．

3．(2016·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(

) A．3 C．5 答案

C 解析

由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中的元素的个数为5.故选C. 4．(2017·吉林大学附中模拟)若集合A＝{x∈N|5＋4x－x2>0}，B＝{x|x<3}，则A∩B等于(

) A．∅

C．[0,3)

答案

D 解析

由A中不等式变形，得(x－5)(x＋1)<0，x∈N，解得－1

5．(2018·潍坊调研)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为(

) B．{1,2} D．{0,1,2} B．4 D．6

A．{0,1} C．{1,2} 答案

B 解析

因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．

6．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为(

) A．8 C．3 答案

B 解析

由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．

7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于(

) A．{1，－3} C．{1,3} 答案

C 解析

∵A∩B＝{1}，∴1∈B. B．{1,0} D．{1,5} B．4 D．2 B．{1} D．{0,1,2}

∴1－4＋m＝0，即m＝3. ∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C. 8．已知集合A＝{x|－1

) A．(－∞，0]

C．(－∞，0)

答案

B 解析

用数轴表示集合A，B(如图)，

B．[0，＋∞) D．(0，＋∞)

由A⊆B，得a≥0. 9．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q

答案

(1,2) 解析

∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，

∴(∁RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}．

10．若{3,4，m2－3m－1}∩{2m，－3}＝{－3}，则m＝______. 答案

1 解析

由集合中元素的互异性，

＝{x|1＜x≤2}，则(∁RP)∩Q＝________. 2m≠－3，可得2m≠3，2m≠4，答案

[0，＋∞) m2－3m－1＝－3，

所以m＝1. 11．(2018·衡水模拟)若集合A＝{y|y＝lgx}，B＝{x|y＝x}，则集合A∩B＝________. 解析

集合A＝{y|y＝lgx}＝{y|y∈R}＝R，

B＝{x|y＝x}＝{x|x≥0}，

则集合A∩B＝{x|x≥0}＝[0，＋∞)．

12．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．

答案

[1，＋∞) 解析

由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

x－1≥013．(2017·安徽黄山二模)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，∁RB＝xx＋2

，则A∩B等于(

) A．{－1,0,1} C．{－2，－1,0} 答案

C 解析

∵集合A＝{－2，－1,0,1,2}，

x－1≥0∁RB＝xx＋2B．{－1,0} D．{0,1,2}

＝{x|x<－2或x≥1}，

∴B＝{x|－2≤x<1}，则A∩B＝{－2，－1,0}．

14．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________. 答案

－1

1 解析

A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，

则B＝{x|m

可得m＝－1，n＝1.

15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

答案

6 解析

依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．

616．已知集合A＝xx＋1≥1，x∈R，B＝{x|x2－2x－m<0}，若A∩B＝{x|－1

实数m的值为______．

答案

8 x－56解析

由≥1，得≤0，

x＋1x＋1∴－1

又∵B＝{x|x2－2x－m<0}，

A∩B＝{x|－1

∴4是方程x2－2x－m＝0的根，

即42－2×4－m＝0，解得m＝8. 此时B＝{x|－2

故实数m的值为8.