信息技术应用 用计算机绘制函数图象设计意图

《函数的单调性与最值》教案

【2019年高考会这样考】

1．利用函数的单调性求单调区间．

2．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．

【复习指导】

本节复习时，首先回扣课本，应从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，重点解决：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数的最值；再者复习时也必须精心准备，对常见题型的解法要熟练掌握．

基础梳理

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，①若

，则f(x)在区间D上是增函数；②若

，则f(x)在区间D上是减函数．

(2)单调性、单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是

或

，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提

条件

结论

一个防范

1函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

①

对于任意x∈I，都有f(x)≤M；

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M

M为最大值

①

对于任意x∈I，都有

；

②存在x0∈I，使得

M为最小值

不能用“∪”连接．

两种形式

设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么

①fx1－fx2fx1－fx2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

x1－x2x1－x2②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

四种方法

函数单调性的判断

(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．

(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．

(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．

(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝1－A．在(－1，＋∞)上单调递增

B．在(1，＋∞)上单调递增

C．在(－1，＋∞)上单调递减

D．在(1，＋∞)上单调递减

2．若y＝(2k＋1)x＋b是R上的减函数，则有(

)．

1A．k＞2

1C．k＞－2

1B．k＜2

1D．k＜－2

1(

)．

x－13．如果二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么(

)．

A．a＝－2

C．a≤－2

4．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(

)．

B．a＝2 D．a≥2

A．f(x)＝3－x

C．f(x)＝－

B．f(x)＝x2－3x

1

x＋1D．f(x)＝－|x| 5.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是___________．

考向一

函数单调性的判断

a【例1】►判断函数f(x)＝x＋x(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．

方法总结：对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：

(1)

可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解；

(2)

可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．

练习1、试讨论函数f(x)＝ax(a＞0)的单调性．

x－1考向二

求函数的单调区间

【例2】求下列函数的单调增区间

(1)ylog1(x3x2)2

2(2)yx|1x|判断函数的单调性要注意：

(1)注意函数的定义域；

(2)熟记基本函数的单调性，判断复合函数(或复杂函数)的单调性时要注意分解为基本函数来考虑．

(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.

练习2.求下列函数的单调区间

（1）

yx2x3

（2）y＝－x＋2|x|＋3 22（2）

yx3x9x5

（4）321yxx

（5）y＝1 （6）3＋2x－x2xy21x

考向三

函数单调性的应用

x2＋2x＋a【例3】已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

x1(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

方法总结：(1)已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之，已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值和范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．

(2)不等式m＞f(x)恒成立⇔m＞f(x)max，

m＜f(x)恒成立⇔m＜f(x)min. 练习3.设f(x)(2a1)xb是R上的减函数，则有

1111A.aB.aC.aD.a2

2

2

2

练习4.若f(x)x2(a1)x2在(,4]上是减函数，2则实数a的取值范围是

A.a3

B.a3C.a3

D.a5

练习5、若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)＜f(m2)的实数m的取值范围是________．

练习6.已知函数f(x)为(0,)上的增函数，若f(aa)f(a3),求实数a的取值范围。

2

练习7.已知奇函数f(x)在定义域[2,2]内递减，求满足f(1m)f(1m)0的实数a的取值范围。

2

(3a1)x4a,x18.已知f(x)是(,)上的减函数，logax,x1求实数a的取值范围。

a,x19.已知f(x)是R上的增函数，a(4)x2,x12求实数a的取值范围。

x(12a)x3a,x110.若函数f(x)x1的值域是R，2,x1求实数a的取值范围。

14.定义在R上的函数yf(x),f(0)0,当x0时，f(x)1.且对任意的a,bR,有f(ab)f(a)f(b)（1）

求证:f(0)1

（2）求证:xR,恒有f(x)0

求证:f(x)是R上的增函数

（3）（4）

若f(x)f(2xx)1,求x的取值范围

215.已知f(x)的定义域是x0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2),且当x1时,f(x)0,f(2)1（1）

求证:f(x)是偶函数

（2）求证:f(x)在(0,)上是增函数

解不等式:f(2x1)2

2（3）16、函数f(x)对任意的m、n∈R，

都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1. (1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.