习题2.3优秀公开课教案

幂函数

●三维目标

1．知识与技能

1－(1)理解幂函数的概念，会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x1，y＝x的图象．

2(2)结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质．

2．过程与方法

(1)通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．

(2)使学生进一步体会数形结合的思想．

3．情感、态度与价值观

(1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣．

●重点、难点

重点：常见幂函数的概念、图象和性质．

难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．

●教学建议

1．关于幂函数定义的教学

建议教师通过实际问题，引导学生自己归纳这些函数所具有的共同特征，概括出它们的共性，获得幂函数的定义．

2．关于幂函数的基本性质的教学

建议教师通过画出学生几个熟悉的幂函数图象，让学生认真观察图象，引导学生类比前面研究指、对数函数的思想、方法．自己尝试归纳几个幂函数的基本性质．

幂函数的概念

【问题导思】

1．函数y＝2x，y＝x3是指数函数吗？

【提示】

y＝2x是指数函数，而y＝x3不是指数函数．

122．函数y＝x2，y＝x，y＝x的底数和指数有什么共同点？

35【提示】

底数是自变量，指数是常数．

一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 幂函数的图象和性质

【问题导思】

1－在同一坐标系下，作出幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x1的图象，如图所示：

2

1.上述图象在第一象限内有何共同特点？

【提示】

都过点(1,1)，只有y＝x2．试判断上述函数的奇偶性．

【提示】

y＝x，y＝x3，y＝x常见幂函数的图象和性质

定义域

值域

奇偶性

y＝x R

R

奇函数

y＝x2

R

[0，＋∞)

偶函数

在(－∞，0]在(－∞，＋单调性

∞)上单调递增

上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增

定点

幂函数的概念

函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值．

【思路探究】

由幂函数定义列方程

↓

解方程求m

↓

根据单调性

检验得m值

【自主解答】

∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，

(1,1)，(0,0)

(1,1)，(0,0)

(1,1)，(0,0)

(1,1)，(0,0)

(1,1) 在(－∞，＋∞)上单调递增

在[0，＋∞)上单调递增

在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减

y＝x3

R

R

奇函数

1y＝x

2[0，＋∞)

[0，＋∞)

非奇非偶

y＝x1

－－1－1随x的增大而减小，其他的都随x轴的增大而增大．

1是奇函数；y＝x2是偶函数；y＝x是非奇非偶函数．

2x≠0 y≠0 奇函数

∴m2－m－1＝1，即(m－2)(m＋1)＝0，

∴m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，在(0，＋∞)上是减函数；

当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)不是减函数．

综上所述，m＝2.

1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，而幂值前面的系数必须为1，这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．

2．幂函数y＝xα，当α<0时，在x∈(0，＋∞)上是减函数．

幂函数值的大小比较

比较下列各组数中两个数的大小．

21(1)()0.5与()0.5；

532－3－(2)(－)1与(－)1；

352332(3)()与(). 3443【思路探究】

由题目可获取以下主要信息：题中给出的是三组幂值大小的比较．解答此题可借助幂函数的单调性或中间量进行比较．

本题是比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，则需引入中间量．可以利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象进行判断．

幂函数的性质

已知幂函数y＝x3m9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，－mm求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．

33【思路探究】

据题中条件→列出不等式组→求出m→利用幂函数的单调性→对底数分类讨论→得a

【自主解答】

∵函数在(0，＋∞)上递减，

∴3m－9<0，

解得m<3. 又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，

∴3m－9为偶数，故m＝1.

11∴有(a＋1)－<(3－2a)－. 331又∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，

3∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a，

或a＋1<0<3－2a，

23解得