习题2.1教案（名师）

2.1.1 指数与指数幂的运算

一、教材分析

本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容

二、三维目标

1．知识与技能

（1）理解n次方根与根式的概念；

（2）正确运用根式运算性质化简、求值；

（3）了解分类讨论思想在解题中的应用. 2．过程与方法

通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质. 3．情感、态度与价值观

（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；

（2）培养学生认识、接受新事物的能力

三、教学重点

教学重点：（1）根式概念的理解；

（2）掌握并运用根式的运算性质

四、教学难点

教学难点：根式概念的理解

五、教学策略

发现教学法

1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.

六、教学准备

回顾初中时的整数指数幂及运算性质，

anaaaa,a01(a0)七、教学环节

教学

教学内容

师生互动

设计意图

环节

提出问题

回顾初中时的整数指数幂及运算性质. 老师提问，

学生回答. 学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习

引入

观察以下式子，并总结出规律：a＞0 老师引导学生“当根式的被开① a510anaaaa,a01(a0)

00无意义

1ann(a0)

aamanamn;(am)namn

(an)mamn,(ab)nanbn

什么叫实数？

有理数，无理数统称实数.

数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的. 方数的指数能被根指数整除时，根(a)aa 式可以写成分数作为指数的形式，525282105② a8(a4)2a4a

124（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根③ 4a124(a3)4a3a 式是否也可以写成分数指数幂的形④a510(a)aa

5252105式.”从而推广到正数的分数指数幂的意义. 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）

根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：

3a2a(a0)

bb(b0)

12234cc(c0)

mn*554即：aa(a0,nN,n1)

形成

为此，我们规定正数的分数指数幂的意学生计算、构造、猜想，允许交流让学nm

概念

mnn义为：

讨论，汇报结论．教师巡视指导．

生经历从*aa(a0,m,nN)

正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：amnm“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．

1amn(a0,m,nN*)

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是

aaaa(a0)

nm1m1m1m深化

由于整数指数幂，分数指数幂都有意让学生讨论、研究，教师引导．

通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．

概念

义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数

指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

（1）arasars(a0,r,sQ)

（2）(a)a(a0,r,sQ)

（3）rSrs(ab)rarbr(Q0,b0,rQ)

若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57——P58. 即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2.

所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，52的近似值从小于52的方向逼近52. 当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，5的近似值从大于5的方向逼近52，(如课本图所示) 所以，52是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂

22ap(a0,p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考：2的含义是什么？

由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：

3arasars(a0,rR,sR)

(ar)sars(a0,rR,sR)

(ab)rarbr(a0,rR)

应用

举例

23例题

例1（P56，例2）求值

学生思考，口答，教师板演、点评．

例1解：

① 8(2)

23233通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指151638；25；()；()4. 28112例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）

2233224；

12a3.a；a23a2；a3a. ② 25(5)

212分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.

121272解：a.aaaa232223333a；

a；

83512()215；

515数幂的求值，提高运算能力．

aaaaa

a3223 ③ ()12(21)5

aaaa(a)a. 134341322321(5)32；

34()1632④()4()4

813课堂练习：P59练习 第 1，2，3，4题

补充练习：

1(2n1)4()2n121. 计算：的结果；

n2482. 若a33,227()3. 38例2分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 解：a.aaa

3312a10384,

17n3求a3[(a10)]的值. a3

a23312a；

22372aaaa

aa32232a；

134383aaaa

(a)a. 练习答案：

41322324n422n11.解：原式=

22n26=2=512；

2.解：原式=3[(128)]=32n3917n3

.

归纳

总结

1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数. 3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.

先让学生独自回忆，然后师生共同总结．

巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力．

课后

作业

作业：2.1 第二课时 习案

学生独立完成

巩固新知

提升能力

八、板书设计

第二章 基本初等函数（I）

2.1 指数函数

2.1.1 指数与指数幂的运算

九、教学反思

通过本堂课的学习，同学们能够独立完成相关习题。