习题1.2教学设计内容推荐

乘法公式与因式分解

1．若n满足（n-2011）2+（2012-n）2=1,则（2012-n）（n-2011）等于（

）

A．

－1

B．

0

C．

D．

1 【答案】B 【解析】分析：首先设a=n－2011，b=2012－n，然后根据完全平方公式得出ab的值，从而得出答案．

详解：设a=n－2011，b=2012－n，

∴a+b=1，∴，

∴ab=1，即(n－2011)(2012－n)=1，故选B．

【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是得出两个代数式的和为1，这是一个隐含条件．

2．已知：【答案】8

2【解析】分析：先将所求式子化简，然后将a+a＝4整体代入计算即可求答案．

，则代数式的值是______．

详解：∵，

＝＝，

∴原式＝4+4＝8．

故答案为：8．

【点睛】本题考查了整式的加减运算、整体思想．正确进行计算，并利用整体思想将式子的值直接代入是解题的关键．

3．已知x2﹣2x﹣1=0．求代数式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）的值．

【答案】0 【解析】分析：根据整式的运算法则即可求出答案．

详解：原式=x2-2x-1+x2-4x+x2-4 =3x2-6x-3

∵x2-2x-1=0 ∴原式=3（x2-2x-1）=0 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

4．求证：四个连续正整数n,n1,n2,n3（其中n表示正整数）的积与1的和是完全平方数．

证明：（方法一）由题意，n(n1)(n2)(n3)1[n(n3)][(n1)(n2)]1

(n23n)[((n23n)2]1(n23n)22(n23n)1(n23n1)2

所以得证．

说明：将n3n看成整体进行配方即可．

（方法二）由题意得，n(n1)(n2)(n3)1n6n11n6n1

要证明上式是完全平方数，只要证明上式等于一个式子的平方．

22令上式(nan1)，从而求得a3，所以得证．

2243225．已知6x7xy3y14xya(2x3yb)(3xyc)，试确定a,b,c的值．

解：由题设，得6x7xy3y14xya(2x3yb)(3xyc)

226x27xy3y2(3b2c)x(b3c)ybc

3b2c14a4比较对应项系数，得b3c1，所以b4．

bcac16．把下列各式分解因式：

(1) ab(cd)cd(ab) (3) x64

4322222

(2) x4mx8mn4n

(5) x4xy2xy8y

2322322(4) x11x31x21

27．(bcad)(acbd),(x4m2n)(x2n),(x4x8)(x4x8),

(x1)x(3)x(8．已知ab8．7x),(2y2x)(．y

2)2,ab2，求代数式a2b2a2b2ab2的值．

328

3539．证明：当n为大于2的整数时，n5n4n能被120整除．

9．n5n4n(n2)(n1)n(n1)(n2)

53

322310．已知abc0，求证：aacbcabcb0．

10．a3a2cb2cabcb3(a2abb2)(abc)

11.（2013•凉山州）已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=

﹣31

．

【考点】因式分解-提公因式法．

【专题】压轴题．

【分析】首先提取公因式3x﹣7，再合并同类项即可得到a、b的值，进而可算出a+3b的值．

【解答】解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13），

=（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13），

=（3x﹣7）（x﹣8）

=（3x+a）（x+b），

则a=﹣7，b=﹣8，

故a+3b=﹣7﹣24=﹣31，

故答案为：﹣31．

【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是找准公因式．

12．若113xxy3y的值为(

) 2，则xyxxyy3

5B．

A．3

5

C．5

3

D．5

313．已知ab2,ab2，求代数式a2b2a2b2ab2的值．

35314．证明：当n为大于2的整数时，n5n4n能被120整除．

2．28

3533．n5n4n(n2)(n1)n(n1)(n2)

分式运算

1xx2x31.化简

12|x|x2(1x)2(1x)解：原式＝

2(1|x|)当x0且x1时，原式＝1x

(1x)2当x0且x1时，原式＝

1x2.化简：

ab11a23b2

a3a2bab2b3a3a2bab2b3a2b2b2a2a4b4

3.计算

n2m2nm2m2n2mn

3322nmnmnm3()23322mnmnmnnm解：设a，b，则ab1

mna2b22ab∴原式＝3

322ab3(ab)ab2a2b22aba2b22ab＝3

3ab3ab(ab)ab(ab)2(ab)2abm2n2＝

2(ab)3ababmn24.计算

bccaab

a2abacbcb2bcabacc2acbcab解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律

bcbc(ac)(ab)11

a2abacbc(ab)(ac)(ab)(ac)abac因此不难看出，拆项后通分更容易

∴原式＝bccaab

(ab)(ac)(bc)(ba)(ca)(cb)＝(ac)(ab)(ba)(bc)(cb)(ca)

(ab)(ac)(bc)(ba)(ca)(cb)1111112

abacbcbacacbcaabc5.若abc1，求

aba1bcb1acc111解：∵abc1，∴a，将式中的a全换成

bcbc＝

1bcbc∴原式＝

b1cbcb11c1bcbcbc1bbc1

＝b1bcb1bc1bbc6.已知xyzxyzxyz(xy)(yz)(zx)且xyz0，求分式的值

zyxxyz解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。

令xyzxyzxyzk，则zyx[来源学科网]

xyzkz①

∴xyzky

②

由①＋②＋③，得xyzk(xyz)

xyzkx③

当xyz0时k1

即xyzxyzxyz1

zyx∴xy2z，xz2y，yz2x

∴原式＝2z2x2y8

xyz为xyz0时，xyz，yzx，zxy

∴原式＝xyz1

xyz7．化简a121的结果是(

) 2a-2a1a-1A．

1111

B．

C．

2

D．

2

a-1a1a-1a1【答案】A 【解析】试题解析：原式=a1a+12(a1）a1[来源学*科*网Z*X*X*K]

=

=1

a1故选A．

18．先化简，再求值：

xxy1y，其中x=32，y=1．

x2y22【答案】x+y，3．

先化简再求值：

a25a2a2421，其中a23．

aa24a4【答案】a2，

3．

【解析】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．2试题解析：原式=a24a4a22a22a2a2a2=a2a2a2a2= a2，

当a23时，原式=232=3．

9．化简：(aa24a2a22a)a．

【答案】1 【解析】

试题分析：先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分解因式后约分即可．

试题解析：原式=a24a(a2)aa2=(a2)(a2)aa(a2)a2=1 10．化简：x3x291x3．

【答案】2x3．

【解析】

试题分析：线通分变为同分母分式，然后再相加即可解答本题．

试题解析：原式=x3x32(x3)(x3)=2(x3)(x3)(x3)=x3．

11、已知1xyxy，zyzyz，3xzxz，则x＝

；

22、若x1943则分式x46x32x218x23x28x15＝

；

3．（7分）

xx31，则613、设2＝

；

xmx1xm3x3114、若abc0，且abbcca(ab)(bc)(ac)，则＝

；

abccabyabcxzb，＝

；

a，c，则zx1a1b1cyzxy111＝

b2c2ac2a2b2a2b2c215、设x、y、z为有理数，且xyz0，16、已知a、b、c均不为0，且abc0，则11、x121

12、5

13、

53m2214、8或－1

15、1

16、0 例谈分式运算中的一些常用技巧 1.先约分、再计算：

m2m24例.计算：2

2m2mm4m4m2m2mm2m22解：原式=

2mm2m2m2m2m2追踪练习：

①. 2x29x6x9x23xx2=(x3)(x3)(x3)2x22x3； x(x3)x32a2

②. 2.分步通分： 例.计算：解:原式=a213a3a22a11. a11124

241a1a1a1a1a1a21a1a221a241a421a221a241a481a8 追踪练习：

1248162481m1m1m1m1m1611124816()2481m1m1m1m1m1m1m1611124816；

()1m1m1m1m21m41m81m1611m

3.整体通分法：

4

m2m2m24m244m244m2解：原式=

m2m2m2m2m2m2例.计算：m2

44mm2m2追踪练习：m2m24.巧用裂“项”法：

例.

计算：解：原式

x24x24x11(x1)

x11x2x11111

x99x100xx1x1x2x2x31111111111

x1xx2x1x3x2x99x98x100x991111111111 +

xx1x1x2x2x3x98x99x99x100x100x11 

 xx100xx100xx100100xx100

111x(x1)(x1)x2(x2)x311(x2016)x2017(x2017)x20181111

(x2016)x2017(x2017)x2018追踪练习：111111x(x1)(x1)x2(x2)x3112018xx2018xx2018

5.利用分配律：

例.计算：a12a

2a1a1a1方法一.先算括号里的. 2aa1aa112a22aa2a1原式

2a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a23a

a23a1a1a1方法二.利用分配律. 原式2aaaa1a12aa1a1a1a1

a1a11a1a12aa1aa12a22aa2aa23a

1211追踪练习：2

22x2x2xx4x4x2x

6.巧代换：

例.设abc1，求11m1m

m1abc的值？

aba1bcb1acc1 解：∵abc1

∴1abc，且c0

acbcacbc∴原式 =abcaccbcbabcacc11accbacc1acc1=ac1cacc11

acc1acc1acc1acc1

111已知abc0,求(bc)(ca)(ab)的值abc111111解：(bc)(ca)(ab)=(a)(b)(c)3

abcabc已知

111111111abc180+=，+=，+=，则

ab6bc9ac15abacbc3111111111111162()()()2()abbcacabc691518011131

abc180abbcac31abc1807.设参法（辅助未知数法）：

abca23ab例.已知，求2的值？

2234bc解：设abcm，则a2m,b3m,c3m；

2342a23ab2m32m3m4m218m214m2代入 22

222222bc9m16m7m3m4m追踪练习：已知x:y2:3，求8.因式分解”法：

2x2xyy23x22xy2y211 . 6例.计算：a2b2a1b1a2b2a1b1

解：原式=a1b1a1b1a1b1a1b1a1b1a1b1

=a1b1a1b1 =2a1 =2

aa2a1a2a1222a=a22a11a21a111a方法：平方差公式、十字相乘法、追踪练习：

换元法(令x=a1)9.方法、倒数法：

11x2244例.已知x5，求①.x2；②.xx；③.4. xxxx21111略解：x5,x52,x22225

xxx1 ①.x2225223

x1 ②.x2223

x2111x424529，x445292527

∴

x22232，xxxx21x4x2112x123124

③.设m4，则222mxx1xxx211∴m，即4. 24xx21242

a2111224=追踪练习：⑴.若a5，求①. aa=529；②. a4=727；③.4 228aaa1a

11运用(a)24(a)2

aa⑵.若m10.去分母法：

例.已知：a、b都是正实数，且解：21m27，试求m1=5 先平方

m1127ab，求2的值？

abab2a3ab2b2112ba2baab2aba2b22ab

abababab7ab7ab7ab7ab7ab

∴原式7

2222ab3ab22ab3ab4ab3abab2ab3ab

5m2n335122追踪练习：若，求

3m+2mn3mnmn

绝对值和绝对值不等式的解法

1．一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越________。

【答案】近

【解析】分析：绝对值是指这个点到原点之间的距离．

详解：一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越近．

点睛：本题主要考查的是绝对值的性质，属于基础题型．理解绝对值的几何定义是解决这个问题的关键．

2．不等式x15的解集为__________．

【答案】4,6

【解析】x15,5x15，解得4x6,原不等式的解集为4,6，故答案为4,6．

在上恒成立，则的取值范围是__________．

3．关于的不等式【答案】

【解析】结合自变量的范围，若若，由不等式可得，解得：．

，可得：，

，不等式明显成立；

综上可得的取值范围是4．已知A．

，的解集是

B．

，则实数，的值是（

）

，

C．

，

D．

，

【答案】D

【解析】分析：先解不等式，再列方程组得实数a，b的值．[来源学科网ZXXK]

详解：由题得-b＜x-a＜b，所以a-b＜x＜a+b，

因为的解集是，

所以a-b=-3且a+b=9，

所以a=3，b=6．故答案为：D 点睛：(1)本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力．(2)绝对值不等式|ax+b|

|ax+b|＞c等价于ax+b>c或ax+b＜-c．

5．若关于x的不等式kxx20恰好有4个整数解，则实数k的取值范围是（

）

A．

,32

B．

5332,

C．

533,1

D．

53,1

5【答案】B

【

方法点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、排除法解选择题，属于难题．

用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法．

若结果为定值，则可采用此法．

特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n

项和公式问题等等．

6．A．

【答案】A 【解析】解：很明显本题选择A选项．

7．若实数a满足a

，则不等式等价于：，解不等式组可得实数x的取值范围是：

．

的解集为（

）

B．

C．

D．

13，则a对应于图中数轴上的点可以是A、B、C三点中的点__________．

22

【答案】B 【解析】∵a13，∴a=﹣1或a=2．故答案为：B．

22[来源学#科#网]8．若a为最大的负整数，b为绝对值最小的数，则ab的值为_____．【答案】0

【解析】分析：最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0，得a、b代入即可．

详解：根据题意知a=-1、b=0，则ab=0，

故答案为：0．

9．不等式【答案】

的解集是__________．

【解析】

由题意得，不等式，等价于，解得，

所以不等式的解集为．

10．若关于的不等式【答案】

的解集为，则________．

点睛：该题是一道关于已知不等式的解集，求不等式中参数值的题目，在解题的过程中，需要分析已知条件，从而求得结果．

11．使关于x的不等式x1kx有解的实数k的取值范围是__________．

【答案】,1

【解析】原不等式转化为k＜x﹣|x+1|成立，

1,x1因为y=x﹣|x+1|={

，对应图象如图，

2x1,x1由图得其最大值为﹣1．

故只须k＜﹣1即可．

故答案为：

,1。

12．关于x的不等式xaxb0的解集为x|1x2，则不等式bxa5的解集为__________．

2【答案】,41,

【解析】∵

不等式xaxb0的解集为x|1x2

22∴x1或2是方程xaxb0的解，即a3，

b2

∴bxa2x3

∵bxa5

∴2x35或2x35

∴x4或x1

∴不等式bxa5的解集为,41,

故答案为,41,

13．不等式【答案】【解析】

3所以不等式的解集是．

的解集是___________

14．不等式x2x1的解集为________．

【答案】x|x1

x1【解析】x2x1(2x1)x2x11x1,所以不等式x2x1的解集为x|x1．

x315．若不等式ax12在1,上恒成立，则实数a的取值范围为_________．

【答案】(,3]

已知函数fxx1，解不等式fxfx12；

【答案】【解析】(1) x|151a≥2

解析：解：（Ⅰ）原不等式等价于：当x≤1时，-2x+3≤2，即x1，x (2) 22当1＜x≤2时，1≤2，即 1＜x≤2．

当x＞2时，2x-3≤2，即2x52．综上所述，原不等式的解集为x|152x2．

若不等式x1x3m1恒成立，则实数m的取值范围是 【知识点】绝对值不等式 E2

【答案】【解析】

3,5

解析：由于x1x3x1x34，则有m14，即4m14，解得3m5，故实数m的取值范围是3,5

【思路点拨】由绝对值不等式的意义可求出最小值，再求出m的取值.

二次根式

1.化简：(32)2004(32)2005．

解：(32)2004(32)2005

＝(32)2004(32)2004(32)

＝(32)(32)2004(32)

＝12004(32)

＝32．

2.化简：（1）945； （2）x21x22(0x1)．

3.已知x323232,y32，求3x25xy3y2的值

．

4.填空：

（1）1313＝__ ___；

（2）若(5x)(x3)2(x3)5x，则x的取值范围是_ _ ___；

（3）4246543962150__ ___；

2

（4）若x5x1x1x1x1，则______ __．

2x1x1x1x15.选择题：

xx成立的条件是 （

）

x2x2（A）x2

（B）x0

（C）x2

（D）0x2

等式a211a26.若b，求ab的值．

a17.比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．

228.

（2011山东菏泽，4，4分）实数a在数轴上的位置如图所示，则（a-4）+（a-11化简后为（

））

A．7

B．﹣7

C．2a﹣15

D．无法确定

考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴．

分析：先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．

解答：解：从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞1，a﹣11＜﹣1，

22则（a-4）+（a-11=a﹣4+11﹣a=7．故选A．

）点评：本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．

11.

（2011成都，23，4分）设S1=111111111S=1S=1S=1,,,…,

23n122222323242n2(n1)2设SS1S2...Sn，则S＝_________ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．

考点：二次根式的化简求值。

专题：计算题；规律型。

分析：由

1n2(n1)2(n1)2n2[n(n1)]22n22n1[n(n1)1]2，求Sn，得出一般规律．

Sn12nn2(n1)2[n(n1)]2[n(n1)]2解答：解：

1n2(n1)2(n1)2n2[n(n1)]22n22n1[n(n1)1]2∵Sn12，

2222nn(n1)[n(n1)][n(n1)]∴Snn(n1)1111，

n(n1)nn11111111

223nn1∴S11n11

n1(n1)21n22n

n1n1

n22n故答案为：

n1点评：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．

2.

计算：（-3）0—27+12+123．

考点：二次根式的混合运算；零指数幂．

专题：计算题．

分析：观察，可以首先去绝对值以及二次根式化简，再合并同类项．

解答：解：（-3）0—27+12+123，

=1-3 3+ 2-1+ 32(23)(32）=-3 + + - ，

=-2 ．

点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及绝对值的性质，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．

3.

（2011四川凉山，25，5分）已知a、b为有理数，且m、n分别表示57的整数部分和小数部分，则2ab

.

考点：二次根式的混合运算；估算无理数的大小．

专题：计算题．

分析：只需首先对57估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用

57－a表示．再分别代入amn＋bn2＝1进行计算．

解答：解：因为2＜7＜3，所以2＜5－

把m＝2，n＝3－

amnbn21，7＜3，故m＝2，n＝5－

7－2＝3－

7．

7代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b）7＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．

所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．

点评：本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．

例1 （2011江苏泰州，20，8分）解方程组3x6y10，并求xy的值．

6x3y8【答案】解:3x6y10①6x3y8②

2②×2－①,得9x=6,解得x=. 324将x=代入①，得2+6y=10,解得y=. 33

x所以方程组的解为y

224232。

，于是xy＝＝43333例3先化简，再求值：

11b5151，其中a=，b=．

abba(ab)22aba(ab)b2(ab)2ab

【解答】原式＝

ab(ab)ab(ab)ab

当a=

11.

（2011四川内江，加试1，6分）若m【答案】0

12. （2011四川内江，加试3，6分）已知63m(n5)3m6(m3)n，则mn

．

【答案】－2

5. （2011四川成都，17,8分）先化简，再求值：(225151，b=时，原式＝5．

222011543，则m2m2011m的值是

．

201213xxx23)2，其中x. x1x1x123x(x1)x(x1)x21【答案】解：原式=

x2x212x24x2x(x2)

===2x. x2x2a1a24216. （2011贵州安顺，20，8分）先化简，再求值：21，其中a=2－3[来源:Zxxk.Com] a4a4a2aaa1a24a【答案】原式=

2(a2)a(a2)aa(a1)(a2)(a2)a=

a(a2)24a=1

(a2)2当a=23时，原式=1．

3

当x

33时，2x=2=3.

225、

（2011武汉调考模拟)先化简：再求值． 5x1+5220x-5x414,其中x=

35x

【答案】解：原式=32115x，当x=时，原式=3215 |1y|1yx11x2，求y1的值。

25．若x，y是实数，且 x10．已知2x218x10x2，则x等于（

）

A．4

B．±2

C．2

D．±4

16．若yx33x4，则xy

。

17．若3的整数部分是a，小数部分是b，则3ab

。

20．已知a，b，c为三角形的三边，则=

。

(abc)2(bca)2(bca)2

1xyy18x8x1,求代数式22yx27．已知：

29．阅读下面问题：

xy2的值。yx

11211(21)(21)(21)121；

32(32)(32)13232;15252(52)(52)52。试求：

（1）76的值；（2）3217的值；

1（3）n1n（n为正整数）的值。