习题2.3教学评价实录

必修1 第二章

基本初等函数（Ⅰ）

2.3 幂函数

教学目标：

1.

了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点) 2.

结合幂函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象，掌握它们的性质．(重点、难点) 3.

能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 一、新课导入

先看五个具体的问题：

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数；

（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积Sa2，这里S是a的函数；

（3）如果立方体的边长为a，求立方体的体积Va3，这里V是a的函数；

（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长aS，这里a是S的函数；

（5）如果某人s内骑车进行了1km，那么他骑车的平均速度vt1km/s，这里v是的函数．

讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？

它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数．

从上述函数中，我们观察到，它们都是形如yx的函数．

二、师生互动，新课讲解：

1、幂函数的定义

一般地，函数yx(aR)叫做幂函数（power function），其中x是自变量，是常数．对于幂函数yx，我们只讨论1,2,3,1223121,1时的情形．

2

2、幂函数的图象

213在同一直角坐标系内作出幂函数yx；

yx；

yx；yx；yx的图象．

12

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观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．

定义域

值

域

奇偶性

单调性

公共点

R R

奇

增

R

R

R

奇

增

（1,1）

yx

yx2

yx3

yx

12yx1

[0,)

[0,)

非奇非偶

增

{x|x0}

{y|y0}

奇

[0,)

偶

3、幂函数的性质

1）．五个具体的幂函数的性质

231（1）函数yx；

yx；

yx；yx和yx的图象都通过点（1，1）；

312（2）函数yx；yx；yx是奇函数，函数yx是偶函数；

121（3）在区间(0,)上，函数yx，yx，yx和yx是增函数，函数yx是减函数；

2312（4）在第一象限内，函数yx的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．

2）．一般的幂函数的性质

（1）所有的幂函数yx在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

1

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（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)上是增函数；>1时，图象向上，靠近y轴；0<<1，图景向上，靠近x轴；=1是条直线。

（3）0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴；

（4）幂函数yx的图象，在第一象限内，直线x1的右侧，图象由下至上，指数由小到大；y轴和直线x1之间，图象由上至下，指数由小到大．

，，，2四个值，则相应课堂练习：

已知幂函数yx在第一象限内的图象如图所示，且分别取11于曲线C1，C2，C3，C4的的值依次为

．

例1：（课本第78页例1）证明幂函数f(x)

变式训练1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：

（1）2.3，2.4；（2）0.31，0.35；（3）(2)

例2：求下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性：

（1）yx；（2）yx；（3）yx；

（4）yx

解：（1）函数yx的定义域是R，它是奇函数；

2

（2）函数yx即y3323412x在[0,)上是增函数．

34656532，(3)32；（4）1.112，0.912．

12131，其定义域是(,0)(0,)，它是偶函数；

2x

（3）函数yx即y

（4）函数yx即y

13312x，其定义域是[0,)，它既不是奇函数，也不是偶函数；

x，其定义域是R，它是奇函数．

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变式训练2：

（1）设a11，，，3，则使函数yxa的定义域为R且为奇函数的所有a值为（

A

）．

(A)，3 (B)

1， (C) 1，3 (D) 1，，3

（2）若函数f(x)x3(xR)，则函数yf(x)在其定义域上是（

B

）．

(A) 单调递减的偶函数 (B) 单调递减的奇函数 (C) 单调递增的偶函数 (D) 单调递增的奇函数

1（3）若幂函数f(x)的图象经过点(3，)，则其定义域为(

C

) 9A．{x|x∈R，x>0}

B．{x|x∈R，x<0}C．{x|x∈R，且x≠0}

D．

R

111－－解析：设f(x)＝xα.∵图象过点(3，)，∴＝3α，即32＝3a，∴α＝－2，即f(x)＝x2＝2，∴x2≠0，即99xx≠0.

例3：在同一坐标系作出函数y=x2与y=2x的图象。

变式训练3：已知幂函数f(x)＝实数m＝________. 解析：∵幂函数f(x)＝－12

(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3<0，∴－1

布置作业：

1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(

) 是奇函数，不符

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解析：注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝1－＝x的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x1＝，x结合选项知，其图象应与④对应；图象①与y＝x3大致对应．综上述所述，选B. 答案：B 112．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝__________. 25解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．

答案：－1或2 3．（课本P79习题2.3 NO:1）已知幂函数yf(x)的图象过点(2,2)，试求出这个函数的解析式．

4．讨论函数yx的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说出函数的单调性．

275．已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－. x2(1)求m的值；

(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．

727解：(1)∵f(4)＝－，∴－4m＝－.∴m＝1. 2422(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，

x证明如下：

任取0

x1x2x1x22∵00，＋1>0. x1x2∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，

2即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．

x

23

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