小结国家获奖教案

《探究二次函数在闭区间[m,n]上的最值问题》教学设计

授课教师：广东省惠州市第一中学

郭煜辉

教材：人教A版数学必修1

“以人为本”“以学生的发展为本”是课程改革的出发点；开发型的课程观是建构现代化课程体系的必然选择。

一、教材内容解析：

a是什么？是字母？是集合中的元素？是几何中的直线？但对于初学函数的同学而言，它是一个令人头痛的参数！参数，作为结果，它表示一个确定的值，可以参与运算；作为过程，它表示一个变量，可大可小，可正可负。它所涉及的数学思想包括：建模思想、函数与方程思想、分类讨论、数形结合……在高中数学中，含参二次函数正是以上思想的统一体现。因此，二次函数，尤其是含参二次函数历来是教学的重点和难点，也是考试的热点：

2例1：2012年广州一模第11题：若函数fxlnxax1是偶函数，则实数a的值为

．——判断奇偶性。

例2：2010年惠州市二调文科第21题：设函数f(x)13121xx2x，g(x)ax2(a2)x，

322（1）对于任意实数x1,2，f(x)m恒成立，求m的最小值；——二次函数的恒成立问题。

例3：

2012年广东高考文科第21：设0a1，集合A{xR|x0}，B{xR|2x23(1a)x6a0}，DAB.（1）求集合D（用区间表示）——解含参二次不等式。

32例4：2013年广东高考文科21题：设函数f(x)xkxx

kR．

(2) 当k0时,求函数f(x)在k,k上的最小值m和最大值M．——通过求导把三次函数转化为二次函数研究。

从以上例子看出，二次函数涉及了奇偶性、不等式、单调性和最值，零点问题，恒成立问题，三次函数求导等问题，内容丰富而重要。而高一同学刚接触函数，对于抽象的函数性质，需要一个具体的载体进行体现。因此，本节课作为探究课，将安排在必修1的《1.3.1单调性与最大（小）值》教学之后，从而让学生形象直观地感受利用函数单调性求最大（小）值的解题方法，并可深刻体会分类讨论与数形结合的解题思想。

二、教学目标设置：

1.知识与能力目标：

熟练掌握二次函数求最值问题的一般解法，总结归纳出含参二次函数在闭区间上求最值的一般规律，学会运用二次函数的图像研究和讨论函数单调性的问题。

2.过程与方法目标：

通过小组讨论，归纳总结影响二次函数在闭区间上的最值的因素，探究解决二次函数最值问题的一般解法和规律。通过小组展示，引起学生争论，从而引起学生主动探究问题！

3.情感态度与价值观目标：

通过小组组合，培养学生合作交流的能力；通过小组讨论，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想；通过小组展示，培养学生的辩证思维与分析能力；通过互相争论，使学生经历发现问题，探究问题的自主学习过程。

三、学生学情分析

授课对象：设定为高一普通班学生。

优势：已熟练掌握二次函数图像及其性质，对函数的单调性与最值有一个初步的认识，初步具备了数形结合思想方法考察问题的能力；求知欲望强烈，喜欢探求真知，具有积极的情感态度，为小组积极讨论定下基调。

劣势：字母推理能力较弱，缺乏分类讨论的思想，特别困惑含参数的解析式。

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四、教学策略分析：

1、利用几何画板等多媒体辅助教学；2、教学过程采用小组学习策略：分组合作，讨论探究题，展示教学结果；

3、在探究问题中贯穿竞争与合作学习策略。

通过以上三种形式，以探究引导为主要策略，实现以学生实践探究，协商合作为主，教师指导为辅的

“生本”教学模式。

五、教学过程：

分成四个环节进行授课，即“前置自学”—“问题探究1”—“问题探究2”—“知识拓展”。

1、教学基本流程：

2、教学步骤：

（一）前置自学：

1、函数fxx6x,x2,2的最小值为________，最大值为_________. 22、求函数fxx8x3,x2,2的最小值为________，最大值为_________.

23、求函数fxx2x1,x2,2的最小值为________，最大值为_________. 24、求函数fxx2x1,x3,2的最小值为________，最大值为_________. 25、求函数fxx2x1,x2,4的最小值为________，最大值为_________. 2教师活动：布置前置作业，供学生探究。

学生活动：完成前置作业，并在上课初始进行结果展示。

设计意图：问题是数学的心脏！从实际做题出发设计本课的情景导入。前置作业有两个特点：1、前3题研究区间都相同，后3题研究的解析式都相同，这包含本课的两个研究方向：动函数，定区间；定函数，动区间。2、代值解决不了求值问题：很多同学都喜欢直接代入端点值去算，第1、5题是可以直接得出答案，但是第2、4题想将前端点值代入得到最小值的，却偏偏得到最大值，想求最大值的，却得到最小值。更甚至第3题，直接无视二次函数最低点的存在，得不到正确答案。在错误中学生就会思考：什么时候可以直接代值，什么时候需要结合图像讨论呢？从而拉开本课的主题：通过图象，求二次函数在闭区间的最值。

（二）问题探究1。

探究1：求函数fxx2tx1,x2,2的最小值。

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教师活动：1、投影出探究1，通过问题形式，引导学生思考，分组讨论；

设计意图：学生是刚接触“动函数，定区间，求最值”这类问题，不知如何下手，对比前置作业，我将以问题形式启发学生进行思考方向的引导：

问题：影响二次函数作图的对象是什么？

学生：开口方向，对称轴，判别式，与x轴交点.

问题：以上对象都能帮助你在给定区间求最小值吗？

学生：…………？

（思考后）只需要开口方向和对称轴！

设置意图：通过问题的设置，学生就会分别“开口方向，对称轴，判别式，与x轴交点”四个方向进行思考，从中发现能影响在给定区间单调性的只有开口方向和对称轴！因此，本题可以根据对称轴在不同的位置，引起不同情况的单调性进行分类。

教师活动：2、组织学生对讨论结果进行展示；

解：函数fxx2tx1,x2,2的对称轴为xt，

2（1）当t2时，对称轴xt在2,2的左侧，函数fxx22tx1在2,2单调递增，fxminf24t3；

2（2）当t2时，对称轴xt在2,2的右侧，函数fxx2tx1在2,2单调递减，fxminf24t3；

2（3）当2t2时，对称轴xt在2,2的内部，函数fxx2tx1在2,t单调递减，在t,2单调递增，fxminftt1；

2

教师活动：3、使用多媒体对本题进行演示，验证学生做法。

对称轴包含在给定区间范围内

对称轴在给定区间的左侧

因此，以上情况可归纳为：

学生活动：1：口述求二次函数在闭区间m,n最小值的一般步骤：

回答：（1）判断开口方向及求出对称轴；

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对称轴在给定区间的右侧

（2）分类讨论对称轴在给定区间的不同位置；

（3）通过不同位置，得出不同的单调性情况，并以此求出最小值。

2：通过表格形式总结分类情况：

（三）问题探究2

探究2：求函数fxx22tx1,x2,2的最大值。

设计意图：求最小值就会考虑到求最大值。因此我将题目的最小值改为最大值，分类的情况是否还是一样呢？

引发学生思考和讨论。

学生思考过程如下：

对称轴在给定区间的右侧

对称轴在给定区间的左侧

但是：对称轴包含在给定区间范围内时的情况会怎样呢？

难点突破：采用几何画板重现对称轴在给定区间内的移动情况，借以提示学生观察对称轴的具体位置，并加以分类。

对称轴在y轴的左侧，

对称轴与y轴重合，

对称轴在y轴的右侧，B比A高

A、B同高。

A比B高

经过图象演示，学生恍然大悟，小组讨论达到了高潮！经过学生合作探究，

学生将作品展示如图：

小组讨论图

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正当同学们兴奋的把答案归纳出来：fxmax4t3,t24t3,2t0，发现前两种情况答案是一样的，后两种情况

4t3,0t24t3,t2答案也是一样的，这是怎么回事呢？我再次打开几何画板，这次重新演示整个过程：

图3 图1 图2 图4

图1、图2，对称轴在y轴左侧时，总有B比A高；图3、图4，对称轴在y轴右侧时，总有A比B高。因此本题只需分为两种情况fx4t3,t0即可。

4t3,t0作为本节课的难点，我再将本题的学生认知过程作回顾：

变式：若将给定区间变为2,4，分类标准是什么？若区间是m,n呢？

设计意图：在2,2中学生容易探知以y轴作为分界进行分类讨论，但“以y轴作为分界”是否具有一般性呢？显mn，即给定区间的中间值作为分界。

2241mn学生回答：应该以x分类；m,n时分类值为x。

22学生活动：以填表形式归纳二次函数在m,n求最大值的情况：

然没有，借此变式让学生探究出分类的依据应该以x

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（四）知识拓展：

探究3：以例题为范本，小组为单位，编写一道关于二次函数求最值的题目，给出相应答案，并谈谈你的设计意图。

设计意图：本课主要研究了“动函数在定区间求最值”的问题，在内容上过于单一，如何在剩余不多的课堂时间内展开问题呢？我大胆的设置了这么一个环节，旨在激发同学求知欲与求胜欲，同时让学生相互竞争，拓宽知识面。

此活动一出，再次掀起了课堂气氛的高潮，当中第二和第四组同学的问题引起了大家的激烈讨论：

第二组问题特点：同样是“动函数，定区间，求最值”，但开口向下，让同学类比解题。

第4组问题特点：参数放在区间，变成“定函数，动区间，求最值”。

学生：依据“运动是相对的”，能否反过来让函数不动，区间运动呢？

解答过程类比例题，同样分三种情况：动区间在对称轴的左侧，动区间包含对称轴，及动区间在对称轴的右侧。

3、作业：

以第二、第四小组编写的题目作为本节课作业：

即

（1）求函数fxx2tx,x2,2的最值；

2

（2）求函数fxx2x3,xk,k2的最值。

24、板书设计：

5、课后评价，本课教学特点：

1、启发式：（1）作业启发：通过前置作业的布置，启发学生对“二次函数闭区间求最值”问题的归类；（2）问题启发：通过提问形式，启发学生在“问题探究1”中，对“对称轴”位置进行分类；（3）图象启发：当学生面对“探究2”讨论无休止时，通过几何画板的动态演示，启发学生归纳结论。

2、探究式：本课教学上以学生的小组讨论为主导，老师只起到“路标”的导航作用。在问题探究2中。展示了“小组讨论→结果展示→引起争论→再讨论→再展示→归纳总结”这么一个学生主动探究问题的过程！充分让学生体会团结协作，老师从旁辅助的研究乐趣。

3、开放式：以小组为单位，由学生自行编题，作为本课作业。学生兴趣大，参与度高，拓展学生视野，充分调动学生的创造精神，让枯燥的作业变得乐趣。

2014年10月

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