信息技术应用 收集数据并建立函数模型第一课时导学案

高一数学《必修1》

编制：李璇

审核：陈本平

高一(

)班

第___组

姓名

时间： 周 行政签字

必修1

第三章

函数的应用

课题名称

3.1.1

方程的根与函数的零点

第1课时

课型

问题生成课及解决课

考纲要求

1．结合二次函数图像，判断一元二次方程根的存在性及个数；

2.理解函数零点的概念与方程根的联系；

3.掌握函数零点的判断方法，会求函数的零点，并会判断零点的个数.

重点：求函数零点及零点个数判断

难点：函数零点、方程的根所在的区间

自学法和尝试指导法

学

习

过

程

学习任务（内容、问题、试题）

（教学提纲区）

学习活动（二次备课区）

重点、难点

教学方法

问题·探究

（一）回顾旧知，发现问题

问题1 求下列方程的根．

（1）3x20；（2）x5x60；（3）lnx2x60. 问题2观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标

方 程

函 数

函

数图

象

方程的实数根

函数的图象与轴的交点

2x22x30

x22x10

x22x30

yx22x3

yx22x1

yx22x3

问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程

ax2bxc0(a0)及相应的二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

ax2bxc0

(a0)

方

程

的

根

函数的图象

（简图）

图象与x轴 的交点

0

0

0

（二）总结归纳，形成概念

1、函数的零点：

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辨析练习：函数yx22x3的零点是：（ ）

A．（-1，0），（3，0）；

B．x=-1； C．x=3； D．-1和3．

2、等价关系：

（三）初步运用，示例练习

例1

求函数f(x)lg(x1)的零点．

小结：求函数零点的步骤：

变式练习：

求下列函数的零点

（1）f(x)x5x6； （2）f(x)21

（四）分组讨论，探究结论（零点存在性）

问题4：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？

怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？

（1）观察二次函数f(x)x2x3的图象：

1

在区间[2,1]上有零点______；f(2)_______，f(1)_______, ○22xf(2)·f(1)_____0（＜或＞）．

2

在区间[2,4]上有零点______；f(2)·f(4)____0（＜或＞）○．

（2）观察下面函数yf(x)的图象

1

在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）○．

2

在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞）○．

3

在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞）○．

（3）观察屏幕上的函数图象：

若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是

（间断／连续）；含零点的

某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是

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（相同／互异）

由以上探索，你可以得出什么样的结论？

讨论：（1）从这一结论中可看出，函数具备了哪些条件，就可断言它有零点存在呢？

（2）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？

（3）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？

（4）如果把结论中的条件“f(a)f(b)＜0’’去掉呢？

（5）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？

（6）在什么样的条件下，就可确定零点的个数呢，零点的个数是惟一的呢？

小结：

（五）观察感知，例题学习

例2（教材第96页）求函数f(x)=㏑x + 2x – 6 的零点个数

试一试：你能判断出方程 ㏑x = - x+ 3 实数根的个数吗？

（六）反思小结,提升能力

1．函数零点的定义

2．等价关系

函数Y=f(x)的零点 函数Y=f(x)的图象与X轴交点的横坐标

方程f(x)＝0实数根

3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断

课后作业

1、书面作业：导学案习题册P81。

2、预习作业：预习内容：课本P89-P93；预习提纲：

a.什么叫二分法? b.二分法的步骤？

课后反思

2 作业布置

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第三章

函数的应用

课题名称

考纲要求

3.1.2

用二分法求方程的近似解

第1课时

课型

问题生成课及解决课

1.二分法的概念；

2.用二分法求函数的零点近似值的原理和步骤。

3.用二分法求方程近似解．

重点：用二分法求函数的零点

难点：用二分法求方程的近似解

自学法和尝试指导法

学

习

过

程

学习任务（内容、问题、试题）

（教学提纲区）

学习活动

（二次备课区）

重点、难点

教学方法

一、问题引入：

一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式. 求根：如何求得方程的根呢？①函数f (x) = lnx + 2x

– 6在区间(2，3)内有零点.②如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.④取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈–0.084.因为f (2.5)·f (3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.再取内间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512.因为f (2.5)·f (2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.

(2.5，3)⑤由于(2，3) ≠



(2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.≠⑥例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x = 2.531 25作为函数f (x) = lnx + 2x

– 6零点的近似值，也即方程lnx + 2x

– 6 = 0根的近似值. 二、师生互动

师：怎样求方程lnx + 2x

– 6 = 0的根.引导：观察图形生：方程的根在(2，3)区间内师：能否用缩小区间的方法逼近方程的根生：应该可用师：我们现用一种常见的数学方法—二分法，共同探究已知方程的根.师生合作，借助计算机探求方程根的近似值.区间

中点的值

中点函数近似值

(2,3) (2.5,3) 2.5 2.75 –0.084 0.512 第

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(2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) (2.53125,2.5625) (2.53125,2.546875) (2.53125,2.532.53515625 90625)

0.001 2.5390625 0.010 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 0.215 0.066 –0.009 0.029

例1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x + 3x = 7的近似解(精确度0.1). 解：原方程即2x + 3x

–7 = 0，令f (x) = 2x + 3x

–7，用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x

–7的对应值表与图象

x

f(x)=2x+3x–7 x

f(x)=2x+3x–7 0 –6 5 40 1 –2 6 2 3 7 3 10 8 4 21

75 142 273 观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.取区间(1，2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1，1.5).再取(1，1.5)的中点x2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25，1.5).同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375) 由于|1.375–1.4375| = 0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375.

课后作业：

1、书面作业：导学案P82-83。

作业布置

2、预习作业：预习内容：课本P95—P101；预习提纲：

a.常见的几种函数模型是什么? b.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异？

课后反思

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第三章

函数的应用

课题名称

3.2.1

几类不同增长的函数模型

第1课时

课型

问题生成课及解决课

1.掌握常见增长函数的定义，图像，性质，并体会其增长差异； 考纲要求

2.理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义；

3.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.

重点、难点

教学方法

重点：函数模型的增长差异

难点：利用函数模型解决实际问题

讲授法

学

习

过

程

学习任务（内容、问题、试题）

（教学提纲区）

【预习导引】

1．三种函数模型的性质

函数

性质

在(0，＋∞)

上的增减性

图象的变化

2.三种函数的增长速度比较

(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝x(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．

(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于xxn学习活动

（二次备课区）

y＝ax(a＞1)

y＝logax

(a＞1)

单调递增

随x增大逐

渐变缓

y＝xn

(n＞0) 单调递增

随n值

而不同

单调递增

随x增大逐

渐变陡

y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．

(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜x＜a. 要点一

函数模型的增长差异

例1 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(

) A．y＝10 000x B．y＝log2x

C．y＝x1 000nxex D．y＝

2(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

x y1

y2

y3

y4

1

2

2

2

2

5

26

32

10

4.322

10

101

1 024

20

5.322

15

226

20

401

625

626

730 901 1.07×10

60 6.907 932 768

1.05×10

3.36×10

30

5.907

40

6.322

50

6.644

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关于x呈指数函数变化的变量是________．

答案

(1)D (2)y2

ex解析

(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝增长速2度最快．

(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．

从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．

规律方法

在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝x(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0，就有logax＜x＜a. 跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(

) nxnxxn

A．指数函数：y＝2 B．对数函数：y＝log2t

C．幂函数：y＝t D．二次函数：y＝2t

答案

A 解析

由题中图象可知，该函数模型为指数函数．

【课堂讲义】

要点二

几种函数模型的比较

例2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：

年份

产量

2010

8(万)

2011

18(万)

2012 30(万) 32t如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·b＋c(a≠0，b＞0，2xb≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？

解

建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．

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(1)构造二次函数模型f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，

将点坐标代入，

2

a＋b＋c＝8，可得4a＋2b＋c＝18，9a＋3b＋c＝30，2

解得a＝1，b＝7，c＝0，

则f(x)＝x＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1. (2)构造指数函数模型g(x)＝a·b＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，

xab＋c＝8，2将点坐标代入，可得ab＋c＝18，ab3＋c＝30，1256解得a＝，b＝，c＝－42. 351256x则g(x)＝·－42，

35

12564故g(4)＝·－42＝44.4，与计划误差为1.4. 35由(1)(2)可得，f(x)＝x＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．

规律方法

1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．

2．理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．

跟踪演练2 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图．

2

(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；

(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．

解

(1)由函数图象特征及变化趋势，知

曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，

曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x，

(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；

当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．

函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长. 【当堂检测】

1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(

) A．y＝100x B．y＝log100x

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C．y＝x D．y＝100

答案

D 解析

几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D. 2．当2＜x＜4时，2，x，log2x的大小关系是(

) A．2＞x＞log2x B．x＞2＞log2x

C．2＞log2x＞x D．x＞log2x＞2

答案

B x22100x

x2x22xx【分层训练】

一、基础达标

1．下列函数中，增长速度最慢的是(

) A．y＝6 B．y＝log6x C．y＝x D．y＝6x

答案

B 解析

对数函数增长的越来越慢，故选B. 2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为(

) x6

答案

B 解析

∵v1＜v2，

∴前半段路程用的时间长．

3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(

) A．y＝0.9C．y＝0.9答案

C 解析

设每年湖水量为上一年的q%，

则(q%)＝0.9，∴q%＝0.950x50x50 B．y＝(1－0.1x50)m

m D．y＝(1－0.150x)m

150. ∴x年后的湖水量为y＝0.9x50m. 4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(

) 12A．y＝0.2x B．y＝(x＋2x) 10第

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2C．y＝ D．y＝0.2＋log16x

10答案

c 解析

将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．

5．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________万件．

答案

1.75 1＝a解析

由1.5＝aa＝－2，得b＝2，1x

x＋b，2＋b，

x

∴y＝－2×0.5＋2，

所以3月份产量为y＝－2×0.5＋2＝1.75万件．

6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变．

3

其中正确的说法是________．

答案

②④

1、书面作业：导学案习题册P84-85。

作业布置

2、预习作业：预习内容：函数模型的应用实例（P101—P106）； 预习提纲：

a.实际问题的建模方法？ b. 几类常用的函数模型？

课后反思

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第三章

函数的应用

课题名称

3.3.2函数模型的应用实例

1.了解函数模型的广泛应用；

2.能利用已知函数模型求解实际问题；

第1课时

课型

新知识传授课

考纲要求

3.通过对数据的合理分析，能自己建立函数模型解决实际问题；

4.能归纳掌握求解函数应用题的步骤. 重点：实际问题的建模方法

难点：通过对数据的合理分析，能自己建立函数模型解决实际问题

讲授法

学

习

过

程

学习任务（内容、问题、试题）

（教学提纲区）

学习活动

（二次备课区）

重点、难点

教学方法

（一）创设情景，揭示课题

引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今

有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.

这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.

比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.

可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.

（二）结合实例，探求新知.

例1

某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.

公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.

若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

引导学生探索过程如下：

1）本例涉及到哪些数量关系？

2）应如何选取变量，其取值范围又如何？

3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？

4）“总收入最高”的数学含义如何理解？

根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.

[略解：] 设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，由x＞0，且300－10x＞0得：0＜x＜30 设客房租金总上收入y元，则有：

y=（20+2x）(300－10x)

=－20(x－10)2 ＋

8000（0＜x＜30）

由二次函数性质可知当x=10时，ymax=8000.

所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.

变式：某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.

试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.

例2

要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方第

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安全提示：同学们：学习有劲头！安全无尽头！

高一数学《必修1》

编制：李璇

审核：陈本平

高一(

)班

第___组

姓名

时间： 周 行政签字

米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.

解析：选择合适的数学模型建立函数关系

解：设长方体底面的长为xm,则宽为(4/x)m,水池的总造价为y元

y=480+80[4x+(16/x)] 当x=2时，总造价最低为1760元

点评：利用基本不等式

变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t与月份的x关系，模拟函数可以选用二次函数或函数yabxc(其中a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.

二．学习过程

解决实际问题的步骤

1）首先建立直角坐标系，画出散点图；

2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：

一次函数模型：f(x)kxb(k0);

二次函数模型：g(x)axbxc(a0);

幂函数模型：h(x)axb(a0);

指数函数模型：l(x)abc（a0,b＞0，b1）

利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.

例1

某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.

公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.

若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

变式：某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.

试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.

例2

要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？

212x作业布置

课后作业

1、书面作业：导学案习题册P86。

课后反思

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