复习参考题教案设计范例

集合的运算

集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算．在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误．具体数集的运算一般采取数轴法，而抽象集合的运算常用Venn图法，运算时特别注意对的讨论．

(2013·南昌高一检测)全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2

(2)若集合C＝{x|x>a}，AC，求a的取值范围．

【思路点拨】

(1)利用交、并、补集的定义求解相应问题．

(2)借助数轴求a的取值范围．

【规范解答】

(1)∵A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2

(2)∵A＝{x|3≤x<8}，C＝{x|x>a}．

又AC，如图，

∴a的取值范围为{a|a<3}．

设全集U＝R，A＝{x|x>1}；B＝{x|x＋a<0}，且B∁UA，求实数a的取值范围．

【解】

因为U＝R，A＝{x|x>1}，

所以∁UA＝{x|x≤1}．

因为x＋a<0，x<－a，所以B＝{x|x<－a}．

又因为B∁UA，所以－a≤1，所以a≥－1.

故实数a的取值范围为{a|a≥－1}．

函数的概念

函数的概念考查主要是对函数三要素：定义域、值域、对应法则的考查，其中定义域是研究函数任何问题的前提条件，而求函数的解析式、值域(最值)问题是高考的重点、热点．

已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等实根．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈[1，2]时，求f(x)的值域．

【思路点拨】

(1)用待定系数法求解；(2)借助于二次函数的图象，利用函数的单调性求解．

【规范解答】

(1)由f(2)＝4a＋2b＝0得：2a＋b＝0，①

f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，

即ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有两个相等实根．

∴b－1＝0，∴b＝1.

1将其代入①得a＝－.

21∴f(x)＝－x2＋x.

211(2)由(1)知f(x)＝－(x－1)2＋，

22显然f(x)在[1，2]上是减函数．

1∴x＝1时，f(x)max＝，x＝2时，f(x)min＝0，

21∴x∈[1，2]时，函数值域是[0，]．

22＋1，x<1，已知函数f(x)＝2若f(f(0))＝4a，则实数a等于(

) x＋ax，x≥1.x

14A.

B.

C．2

D．9 25x2＋1，x<1，【解析】

∵f(x)＝2

x＋ax，x≥1.∴f(0)＝20＋1＝2，

从而f(f(0))＝f(2)＝4＋2a.

因此4＋2a＝4a，∴a＝2.

【答案】

C

函数的图象

函数的图象是变量间的直观反映，它能形象地分析出变量间的变化规律，是研究函数其他性质的工具．在新的高考理念的指导下，函数的图象将成为考查学生理性思维的一个重要切入口．

图1－1

向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图1－1所示，那么水瓶的形状是(

)

【思路点拨】

观察图象的变化情况，根据注水量的变化确定水瓶的形状．

【解析】

随水深逐渐变大注水量增加的越来越缓慢，这

说明水瓶下口大，上口小．应选B.

【答案】

B

某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行．下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是(

)

【解析】

开始由于骑自行车走，速度快，因而离学校距离单位时间内变化率大，当自行车爆胎推车步行后，速度较慢，离学校距离单位时间内变化率变小．由此分析可知，较符合该学生走法的图是D.

【答案】

D

函数性质及应用

研究函数的性质往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手．尤其是函数的单调性与奇偶性更为重要．从近几年高考形势分析，考查题目以“小”、“巧”、“活”的特征出现，学习时应重视．

设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则(

) A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2) C．f(－x1)

【思路点拨】

解答时应先弄清x2的范围及与x1的大小，然后根据单调性与奇偶性之间的关系求解．

【解析】

∵x1<0且x1＋x2>0，

∴x2>－x1>0.

∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∴f(x2)

又∵f(x)是R上的偶函数，

∴f(x2)＝f(－x2)，

∴f(－x1)>f(－x2)，应选A.

【答案】

A

(2013·深圳高一检测)已知函数f(x)在区间[－5，5]上是偶函数，在区间[0，5]上是单调函

数，且f(3)

) A．f(－1)

B．f(0)>f(－1) C．f(－1)

D．f(－3)

函数f(x)在区间[0，5]上是单调函数，又3>1，且f(3)

由已知条件及偶函数性质，知函数f(x)在区间[－5，0]上是增函数．

选项A中，－3<－1，故f(－3)

选项B中，0>－1，故f(0)>f(－1)．

同理选项C中f(－1)＝f(1)；

选项D中f(－3)>f(－5)．

【答案】

B

数形结合思想

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数和形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，它具有形象、直观的特征．

本章中涉及数形结合的知识点有：在集合中借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算；借助一次函数、二次函数等图象研究了函数的单调性、奇偶性等性质．

已知集合A＝{x|－2

(1)若A∩B＝求实数m的取值范围；

(2)若AB，求实数m的取值范围．

【思路点拨】

借助于数轴的直观作用，注意端点的取舍．

【规范解答】

(1)如图所示，由数轴知，若A∩B＝只有m≤－2.

(2)如图所示，若AB，只有m≥4.

已知全集U＝{x|x取不大于30的素数}，A、B是U的两个子集，且A∩(∁UB)＝{5，13，23}，(∁UA)∩B＝{11，19，29}，(∁UA)∩(∁UB)＝{3，7}，求集合A，B. 【解】

∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}，用图形表示出A∩(∁UB)、(∁UA)∩B及(∁UA)∩(∁UB)．

得∁U(A∪B)＝{3，7}，A∩B＝{2，17}，

∴A＝{2，5，13，17，23}，B＝{2，11，17，19，29}．

分类讨论思想

解分类讨论问题的实质是把整体问题化为几部分来解决，化成部分后，也就增加了题设条件，这也是解分类问题总的指导思想．

本章中区间上的最值问题、函数的性质中求参数的取值范围问题等．

已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值．

【思路点拨】

抛物线开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论．可画出二次函数相关部分的简图，数形结合解决问题．

【规范解答】

f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a.

(1)

(2)

(3)

当a≥1时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；

当－1

当a≤－1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.

2设函数f(x)＝x－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值g(t)的表达式．

【解】

二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象(抛物线的一段)，从中发现规律．

f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴x＝1，作出其图象如图所示．

(1)

(2)

(3) 当t＋1≤1，即t≤0时，如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；

当1

当t＋1>2，即t>1时，如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以g(t)＝f(t)＝2t－2t＋2. 综上，函数f(x)在区间[t，t＋1]，t∈R上的最小值g(t)的表达式为g(t)＝2t＋1，（t≤0），1，（0

t2－2t＋2，（t>1）.综合检测(一) 第一章

集合与函数概念

(时间90分钟，满分120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 若全集M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4}，∁MN＝(

) A．

B．{1，3，5} C．{2，4}

D．{1，2，3，4，5} 【解析】

∵M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4}，

∴∁MN＝{1，3，5}．

【答案】

B

2. 下列各组函数表示相等函数的是(

) x2－9A．y＝与y＝x＋3 x－3B．y＝x2－1与y＝x－1 C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0) D．y＝2x＋1(x∈Z)与y＝2x－1(x∈Z) 【解析】

A中两个函数定义域不同；B中y＝x2－1＝|x|－1，所以两函数解析式不同；

D中两个函数解析式不同，故选C.

【答案】

C

3. 设M＝{1，2，3}，N＝{e，g，h}，从M至N的四种对应方式如下图所示，其中是从M到N的映射的是(

)

【解析】

A选项中，元素3在N中有两个元素与之对应，故不正确；同样B、D选项中集合M中也有一个元素与集合N中两个元素对应，故不正确；只有C选项符合映射的定义．

【答案】

C

4. (2012·临沂高一检测)集合M＝{0，2}，P＝{x|x∈M}，则下列关系中，正确的是(

) A．MP

B．PM

C．P＝M

D．PM

【解析】

∵M＝{0，2}，P＝{x|x∈M}，

∴P＝{0，2}，∴P＝M.

【答案】

C x

5. (2012·北京高一检测)函数f(x)＝的图象是(

) |x|

A

B

C

D 1，x>0，x【解析】

由于f(x)＝＝所以其图象为C.

|x|－1，x<0，

【答案】

C

6. 下列函数是偶函数的是(

) A．y＝x

B．y＝2x2－3 1C．y＝

D．y＝x2，x∈[0，1] x【解析】

A选项是奇函数；B选项为偶函数；C、D选项的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．

【答案】

B

7. (2012·安徽高考)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(

) A．f(x)＝|x|

B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1

D．f(x)＝－x

【解析】

A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)，满足要求；

B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足要求；

C，f(2x)＝2x＋1≠2(x＋1)＝2f(x)，不满足要求；

D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，满足要求．

【答案】

C 3

8. 已知0≤x≤，则函数f(x)＝x2＋x＋1(

) 23A．有最小值－，无最大值

43B．有最小值，最大值1 4

19C．有最小值1，最大值

4D．无最小值和最大值

133【解析】

f(x)＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋，f(x)在区间[0，]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)242319＝1，f(x)max＝f()＝.故选C.

24【答案】

C 1

9. 函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f(2x－1)

) 31212A．(，)

B．[，) 33331212C．(，)

D．[，) 23232x－1≥0，12【解析】

根据题意，得1解得2≤x<3，选D.

2x－1<3，【答案】

D

10. (2012·龙海高一检测)若函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时，有(

) A．f(x)>0

B．f(x)<0 C．f(x)·f(－x)≤0

D．f(x)－f(－x)>0 【解析】

f(x)为奇函数，当x<0时，－x>0，

∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x－1)＝x＋1，

∴f(x)·f(－x)＝－(x＋1)2≤0.

【答案】

C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

11. 设集合M＝{x|x是小于5的质数}，则M的真子集的个数为________．

【解析】

由题意可知M＝{2，3}，∴M的真子集有{2}，{3}共3个．

【答案】

3

12. 如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f(f(3))的值等于________．

图1

【解析】

由图可知f(3)＝1，

∴f(f(3))＝f(1)＝2.

【答案】

2

13. 已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．

【解析】

∵A∪B＝A，即BA，

∴实数m的取值范围为[－2，＋∞)．

【答案】

[－2，＋∞)

14. 老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质：

①此函数为偶函数；

②定义域为{x∈R|x≠0}；

③在(0，＋∞)上为增函数．

老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个(或几个)这样的函数________．

【解析】

本题为开放型题目，答案不唯一，可结合条件来列举，如从基本初等函数中或分段函数中来找．

1－x，x>0，2如：y＝x或y＝

1＋x，x<0，2或y＝－.

x1－x，x>0，【答案】

y＝x2或y＝

1＋x，x<0，2或y＝－(答案不唯一) x三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15. (本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|3x－1

(1)由已知得：

B＝(－∞，3)，A＝[1，4)，

∴A∩B＝[1，3)．

(2)由已知得：

∁UA＝(－∞，1)∪[4，＋∞)，

(∁UA)∪B＝(－∞，3)∪[4，＋∞)．

16. (本小题满分12分)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且BA.求实数m的取值范围．

【解】

∵BA，

(1)当B＝时，m＋1≤2m－1，

解得m≥2.

－3≤2m－1，(2)当B≠时，有m＋1≤4，

2m－1＜m＋1，解得－1≤m＜2，

综上得，m的取值范围为{m|m≥－1}．

17. (本小题满分12分)(2012·烟台高一检测)已知函数y＝f(x)是二次函数，且f(0)＝8，f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1. (1)求f(x)的解析式；

(2)求证f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数．

【解】

(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，

∴f(0)＝c，又f(0)＝8，

∴c＝8.

又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c

∴f(x＋1)－f(x)

＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)

＝2ax＋(a＋b)．

结合已知得2ax＋(a＋b)＝－2x＋1.

2a＝－2，∴

a＋b＝1.∴a＝－1，b＝2.

∴f(x)＝－x2＋2x＋8.

(2)证明

设任意的x1，x2∈[1，＋∞)且x1

则f(x1)－f(x2)

2＝(－x21＋2x1＋8)－(－x2＋2x2＋8)

2＝(x2－x21)＋2(x1－x2)

＝(x2－x1)(x2＋x1－2)．

又由假设知x2－x1>0，

而x2>x1≥1，

∴x2＋x1－2>0，

∴(x2－x1)(x2＋x1－2)>0，

f(x1)－f(x2)>0，

f(x1)>f(x2)．

∴f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数．

ax＋b

18. (本小题满分14分)(2012·洛阳高一检测)已知函数f(x)＝2是定义在(－1，1)上x＋112的奇函数，且f()＝. 25(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)当x∈(－1，1)时判断函数f(x)的单调性，并证明；

(3)解不等式f(2x－1)＋f(x)<0. 【解】

(1)由题意可知f(－x)＝－f(x)，

－ax＋bax＋b∴，∴b＝0.

2＝－1＋x1＋x2ax∴f(x)＝.

1＋x212∵f()＝，∴a＝1.

25x∴f(x)＝.

1＋x2(2)f(x)在(－1，1)上为增函数．

证明

设－1

x1x2f(x1)－f(x2)＝

2－1＋x11＋x22（x1－x2）（1－x1x2）＝

2（1＋x21）（1＋x2）∵－10，

21＋x21>0，1＋x2>0，

（x1－x2）（1－x1x2）∴<0.

2（1＋x21）（1＋x2）∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴f(x)在(－1，1)上为增函数．

(3)∵f(2x－1)＋f(x)<0，∴f(2x－1)<－f(x)，

又f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，

∴f(2x－1)

－1<2x－1<1，1∴－1<－x<1，∴0

32x－1<－x，1∴不等式f(2x－1)＋f(x)<0的解集为(0，)．

3