习题2.1教案教学设计

2.1

习题（指数函数）

一、学习目标：

1.理解指数函数的概念和意义，体会指数函数是一种重要的函数模型.

2.能画出指数函数的大致图象，能结合图象理解并掌握指数函数的性质.

3.探索并理解指数函数的单调性，能利用单调性比较幂的大小，通过图象、单调性特殊点的探究，感受数形结合的数学思想.

二、基础知识梳理

1．一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做________函数，其中x是自变量．

2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的定义域为________，值域为________，且其图象过定点________．

3．由指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象知：当a>1时，指数函数y＝ax在R上是________函数，且当x>0时，y>1，x<0时，________；当00且a≠1)在R上为________函数，且当x>0时，00且a≠1)的图象关于________对称．

5．函数y＝bx－3(b>0且b≠1)的图象恒过定点________．

6．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域分别是________，__________________. 7．已知镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后，剩留量为y，则y与x的函数关系式是____________________________．

8．把形如y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的函数称为________函数，这是非常有用的函数模型．

三、要点导航：

一、指数函数的概念、图象与性质

(1)指数函数的定义域是R；底数a是大于零且不等于1的常数；且解析式必须符合y＝ax(a＞0，a≠1)形式才是指数函数．

(2)底数的大小决定指数函数图象的升降．

①当a>1时，函数y＝ax的图象是上升的，即函数单调递增；

②当0

(3)底数变化决定指数函数图象的变化．

指数函数y＝ax的图象如图所示，由指数函数y＝ax图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知：

①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；

②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．

上图中的底数的大小关系为0

(1)性质的记忆．

要熟练掌握指数函数的性质，其关键在于抓住指数函数的图象，利用图象的形象直观，准确把握性质、记忆性质．

(2)性质的应用．

利用指数函数的性质，可以解决指数型复合函数的有关定义域、

值域、单调性，以及两个幂的大小比较等问题，其中比较两个幂的大小，除了使用常规的比较大小的方法之外，还要注意以下几点：

①对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

②对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断；

③对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较；

④对于三个(或三个以上)的数的大小比较，则应先根据值的大小(特别与0,1的大小)进行分组，再比较各组数的大小即可

四、典例剖析：

题型一

指数函数性质的应用

例1 若0

解析：若a>b，则由y＝ax在R上递减可知ab>aa；又在y轴的右边，函数y＝ax的图象在y＝bx的图象上方，

∴aa>ba，

∴ab>ba，这与ab＝ba矛盾．

同理a

342．设f(x)是定义在R上的函数，它的图象关于x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有(

) 132231A．f3

B．f3

213321C．f3

D．f2

题型二

指数函数图象的应用

例2

右图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是什么？

解析：解法一：根据指数函数图象位置与底数关系可直接判断出b

练习：3．函数y＝2x－x2的图象大致是(

)

4．函数y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是(

) A．[2,4]

B．(－∞，0] C．(0,1)∪[2,4]

D．(－∞，0)∪[1,2] 题型三

指数型复合函数的应用

1例4

讨论函数f(x)＝3

x2－2x的单调性．

分析：此函数是指数函数及二次函数复合而成的函数．因此可以通过逐层讨论它的单调性，综合得结果．

解析：∵函数f(x)的定义域为R，令u＝x2－2x，则f(u)＝3u1. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是减函数，

1f(u)＝3

u在其定义域内是减函数，

∴函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，

u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(1，＋∞)上是增函数．

1又f(u)＝3u在其定义域内为减函数，

∴函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数．

例4

求函数y＝9x＋3x＋1＋1的值域．

分析：求函数的值域应先求函数的定义域再利用单调性求解．

解析：易知函数的定义域为R，

x3xx＋1∵y＝9＋3＋1＝3＋23令3x＝t(t>0)，则y＝t＋2225－，

45－，

4∵t∈(0，＋∞)，∴y∈(1，＋∞)．

即函数的值域为{y|y>1}．

点评：(1)在只有一个中间函数的复合函数中，若原函数与中间函数的单调性相同，则复合函数为增函数；若原函数与中间函数的单调性相异，则复合函数为减函数．

(2)利用函数的单调性来求它的值域，也是求函数值域的一种方法．

(3)判断复合函数的单调性还可以运用定义法来判别．

练习：5．已知x，y∈R,3x＋3y>3－x＋3－y，判断x＋y的符号．

2x＋26．求函数y＝x的单调区间．

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