习题2.2教学设计及教案分析

一、选择题(每小题3分,共18分) 1.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是

(

) A.垂直且相交

B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交

D.不垂直也不相交

【解析】选C.取BD中点O, 连接AO,CO, 则BD⊥AO,BD⊥CO, 所以BD⊥平面AOC, 所以BD⊥AC. 又BD与AC异面,故选C. 2.l,m是两条不同的直线,α是一个平面,下列结论正确的是

(

) A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α

B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α

C.若l∥α,m⊂α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m 【解析】选B.对于A,l与α的关系可能是平行、相交或在平面内三种,故A错误;B正确;对于C,l与m的关系可能是平行或异面,故C错误;对于D,l与m的关系可能是平行,相交或异面,故D错误. 【变式训练】(2013·成都高一检测)m,n是空间两条不同直线,α,β是空间两个不同平面,下面有四种说法: ①m⊥α,n∥β,α∥β⇒m⊥n;

②m⊥n,α∥β,m⊥α⇒n∥β; ③m⊥n,α∥β,m∥α⇒n⊥β; ④m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β. 其中正确说法的个数为

(

) A.1

B.2

C.3

D.4 【解析】选B.①正确,因为n∥β,α∥β, 所以在α内有与n平行的直线,又m⊥α,则m⊥n; ②错误,α∥β,m⊥α⇒m⊥β, 因为m⊥n,则可能n⊂β; ③错误,因为m⊥n,α∥β,m∥α,则可能n⊂β且m⊂β; ④正确,m⊥α,α∥β,得m⊥β,因为m∥n,则n⊥β. 3.直线l与平面α所成的角为70°,直线l∥m,则m与α所成的角等于

(

) A.20°

B.70°

C.90°

D.110°

【解析】选B.因为l∥m, 所以直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角, 又直线l与平面α所成的角为70°, 所以m与α所成的角为70°. 4.(2013·大纲版全国卷改编)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥平面ABCD,且底面ABCD为正方形,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于

(

) A.

B.

C.

D.

【解析】选A.如图,设AB=a, 则AA1=2a,三棱锥C-BDC1的高为h,CD与平面BDC1所成的角为α. 因为

-

=

, 即××

a×

ah=×a2×2a,

解得h=a.

所以sinα=

=.

5.(2013·汕头高一检测)如图,四棱锥S -ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列说法中不正确的是

(

) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

【解析】选D.四棱锥S -ABCD的底面为正方形,所以AC⊥BD,又SD⊥底面ABCD,所以SD⊥AC,从而AC⊥平面SBD,故AC⊥SB,即A正确;由AB∥CD,可得AB∥平面SCD,即B正确;选项A中已证得AC⊥平面SBD,又SA=SC,所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角,即C正确;AB与SC所成的角为∠SCD,此为锐角,而DC与SA所成的角即AB与SA所成的角,此为直角,二者不相等,故D不正确. 6.已知矩形ABCD,AB=1,BC=

,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中

(

) A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直

B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直

C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直

D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直

【解析】选B.

对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F, 在图(1)中,由边AB,BC不相等可知点E,F不重合. 在图(2)中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直, 又因为AC∩AE=A,所以BD⊥平面ACE, 所以BD⊥CE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误. 对于选项B,若AB⊥CD, 又因为AB⊥AD,AD∩CD=D, 所以AB⊥平面ADC, 所以AB⊥AC,由AB

所以BC⊥AC.已知BC=

,AB=1,BC>AB, 所以不存在这样的直角三角形.所以C错误. 由上可知D错误,故选B. 二、填空题(每小题4分,共12分) 7.如图,三棱柱ABC -A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠ABC=90°,M为线段BB1上的一动点,则直线AM与直线BC的位置关系为________.

【解析】因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥AA1,因为∠ABC=90°,所以BC⊥AB, 又AB∩AA1=A,所以BC⊥平面AA1B1B, 又AM⊂平面AA1B1B,所以AM⊥BC. 答案:垂直

8.(2013·南阳高一检测)如图,BC是Rt△ABC的斜边,AP⊥平面ABC,连接PB,PC,作PD⊥BC于D,连接AD,则图中共有直角三角形________个. 【解析】由题意可知Rt△PAB,Rt△PAC,Rt△ABC,Rt△ADP,Rt△PDB,Rt△PDC.又可证BC⊥平面APD,得BC⊥AD,则可得Rt△ADB,Rt△ADC,共8个. 答案:8

【误区警示】本题易错在考虑不全,从而证明不出BC⊥平面APD,少查或漏查直角三角形. 9.在三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件________时,有AB1⊥BC1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况). 【解析】如图所示,连接B1C,由BC=CC1,可得BC1⊥B1C,因此,要证AB1⊥BC1,则只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证AC⊥BC1即可,由CC1⊥底面ABC可知,只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证A1C1⊥B1C1即可. 答案:∠A1C1B1=90°

三、解答题(每小题10分,共20分) 10.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,PC=2,E,F是PA和AB的中点,求PA与平面PBC所成的角的正弦值. 【解题指南】过A作BC的垂线,联系PC⊥平面ABCD,利用线面垂直的判定定理可以证明所作垂线与平面PBC垂直. 【解析】过A作AH⊥BC于H,连接PH,因为PC⊥平面ABCD,AH⊂平面ABCD,所以PC⊥AH,又PC∩BC=C,所以AH⊥平面PBC, 所以∠APH为PA与平面PBC所成的角,边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°, 所以△ABC为正三角形,又AH⊥BC, 所以H为BC的中点,AH=

,

因为PC=AC=2,所以PA=2

,所以所成的角的正弦值为.

sin∠APH==,故

PA与平面PBC11.(2014·湖北高考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证: (1)直线BC1∥平面EFPQ. (2)直线AC1⊥平面PQMN. 【解题指南】(1)通过证明FP∥AD1,得到BC1∥FP,根据线面平行的判定定理即可得证. (2)证明BD⊥平面ACC1,得出BD⊥AC1,进而得MN⊥AC1,同理可证PN⊥AC1,根据线面垂直的判定定理即可得出直线AC1⊥平面PQMN. 【证明】(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,

因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1. 从而BC1∥FP. 而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ, 故直线BC1∥平面EFPQ. (2)如图,连接AC,BD,则AC⊥BD. 由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD. 又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.

而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1. 因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点, 所以MN∥BD,从而MN⊥AC1. 同理可证PN⊥AC1. 又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.